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テーマ [代数系 ] の記事一覧

Algebra

Satz
Jede nichtleere Menge von natürlichen Zahlen enthält eine kleinste Zahl, d. h. eine solche, die kleiner ist als alle anderen Zahlen der Menge.

Auf diesem Satz beruht eine zweite Form der vollständigen Induktion.
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2016/01/28   代数系     384TB 0   384Com 0  

zyklische Gruppe

Satz
Eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder zyklisch.

Beweise
Es sei G eine zyklische Gruppe mit dem erzeugenden Element $a$ und $a$ die endliche Ordnung $n$, $a^n=e$. Es sei H eine Untergruppe von G und $a^m \in H$ mit kleinstem positivem Exponenten. Wenn $a^s$ ein beliebiges Element von H ist, kann man
$s= q\, m+r$   ($\, 0 \leqq r < m$)
setzen.
Aus $a^m \in H$  folgt  $a^{-m} \in H$.
Also $a^s (a^{-m})^q =a^{s-mq}=a^r \in H$,
was absurd ist.
Daher gilt $r=0$ d.h. $a^s=(a^m)^q$.
Alle Elemente von H sind also Potenzen von $a^m$.
Was zu beweisen war.

2015/02/13   代数系     341TB 0   341Com 0  

zyklich

Man beweise:
Eine Untergruppe einer zyklichen Gruppe ist wieder zyklisch.


2015/02/11   代数系     340TB 0   340Com 0  

Produkt von Transposition

Zweites Kapitel $\quad$ Gruppen $\, \, \, $ § 7. Untergruppen

Satz
Man zeigt, daß jede zyklishe Permutation mit $n$ Elementen als Produkt von $n-1$ Transposition dastellbar ist, d. h. \[ ( a_{\, 1} \, a_{\, 2} \, \cdots \, a_{\, n}) = ( a_{\, 1} \, a_{\, 2})( a_{\, 1} \, a_{\, 3}) \cdots \, ( a_{\, 1} a_{\, n} ). \]

Beweis.
Für $n=2$ ist die Behauptung klar. Denn wenn für $n=r$ der Satz gilt, beweisen wir für $r+1$.
Aus der Induktionsvoraussetzung sei \[ ( a_{\, 1} \, a_{\, 2} \, \cdots \, a_{\, r}) = ( a_{\, 1} \, a_{\, 2})( a_{\, 1} \, a_{\, 3}) \cdots \, ( a_{\, 1} a_{\, r} ).\]
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_{\, r} & a_{\, r+1}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_{\, r} & a_{\, r+1} & \cdots\\
a_2 & a_3 & \cdots & a_{\, r+1} & a_{\, 1} & \cdots
\end{pmatrix}\\\\
&=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_{\, r} & a_{\, r+1} & \cdots\\
a_2 & a_3 & \cdots & a_{\, 1} & a_{\, r+1} & \cdots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{\, 1} & a_{\, r+1}
\end{pmatrix}\\\\
&=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_{\, r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & a_{\, r+1}
\end{pmatrix}\\\\
&= (a_1 \, \, a_2\, )(a_1\, a_3)\cdots (a_1\, a_{\, r}) \, \, (a_1 \, a_{\, r+1}).
\end{align*}
Es gilt: \[ ( a_{\, 1} \, a_{\, 2} \, \cdots \, a_{\, n}) = ( a_{\, 1} \, a_{\, 2})( a_{\, 1} \, a_{\, 3}) \cdots \, ( a_{\, 1} a_{\, n} ) \quad \quad \text{für alle n $\in$ N}. \] Was zu beweisen war.

コメント
LaTeX の matrix 環境と align 環境の組み合せで悩みました.二つの行列をイコールで繋げていく書き方は初めて使いました.ここが難しいところでした.もっと良い方法があると思います.行列の見にくいところはご容赦ください.

Literatur
[1]van der Waerden,  $\it{\, \, Algebra \, \, \, \, I }\, \, \, $  $\, $Springer-Verlag $\, \, \, $Neunte Auflage 1993
[2]Michel Goossens et al. $\it{The\, \, \, LATEX\, \, \, COMPANION}$ $\, \, \, $ADDISON-WESLEY 1994


2014/07/28   代数系     289TB 0   289Com 0  

Algebra I

Zweites Kapitel $\quad$ Gruppen $\, \, \, $ § 7. Untergruppen

Satz
Notwendig und hinreichend, damit eine nichtleere Untermenge $\mathfrak{g}$ einer gegebenen Gruppe $\mathfrak{G}$ eine Untergruppe ist, sind die folgenden Bedingungen:
1. $\mathfrak{g}$ enthält mit je zwei Elementen $a$, $b$ auch das Produkt $ab$;
2. $\mathfrak{g}$ enthält zu jedem Element $a$ auch das inverse Element $a^{-1}$.
命題
与えられた群 $\mathfrak{G}$の空でない部分集合 $\mathfrak{g}$ が部分群になるためには,次の条件が必要十分である.
1.$\mathfrak{g}$ が二つの要素$a$, $b$ を含めば, $ab$ も含む.
2.$\mathfrak{g}$ が要素 $a$ を含めば,逆要素 $a^{-1}$ も含む.


コメント
数学としてはつまらない内容ですが,独文の構造を面白く感じました.
damit eine nichtleere Untermenge $\mathfrak{g}$ einer gegebenen Gruppe $\mathfrak{G}$ eine Untergruppe ist,
この文を副文として
notwendig und hinreichend sind die folgenden Bedingungen:
こちらの文を主文と考える(?) と意味が取れそうです.文法的な説明はできませんが.

1. $\mathfrak{g}$ enthält mit je zwei Elementen $a$, $b$ auch das Produkt $ab$;
2. $\mathfrak{g}$ enthält zu jedem Element $a$ auch das inverse Element $a^{-1}$.

Literatur
[1]van der Waerden,  $\it{\, \, Algebra \, \, \, \, I }\, \, \, $  $\, $Springer-Verlag $\, \, \, $Neunte Auflage 1993

2014/07/20   代数系     288TB 0   288Com 0  

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