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Algebra: eine Ausgabe 6

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von $r$ paarweise fremden Mengen von je $s$ Elementen gleiche $rs$ ist.

Beweis.
Wir beweisen die Behauptung durch vollständiger Induktion für $r$.
Induktionanfang: $r=1,$
dann $s=s \cdot 1.$ Die Behauptung ist richtig.
Induktionschritt: $r \rightarrow r+1$.
Unter der Induktionsvoraussetzung, daß die Behauptung für $r$ schon beweisen ist.
Es seien die Mengen von $r+1$, die je $s$ Elementen haben, $A_1 \dots A_{\, \, r+1}.$ Und sei diese Vereinigungsmenge
$B=A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{\, r}.$ Dann nach vollständiger Induktionsvoraussetzung, die Anzahl der Elemente der B ist gleich $rs.$ Wenn $B$ und $A_{\, r+1}$ vereingt, dann ist die Anzahl der Elemente der $B \cup A_{\, \, r+1}$ gleich $rs+s=(\, r+1)\cdot s.$

Was zu beweisen war.



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2016/04/03   Mathematik     401TB 0   401Com 0  

Algebra: eine Ausgabe 5

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von zwei fremden endlichen Mengen gleich der Summe der Anzehlen für die einzahlen Mengen ist.

Beweis.
Es seien $A= \{ a_1, a_2, \dots, a_m \},$ $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n \}$ zwei fremden endliche Mengen. Wir werden zeigen, daß die Anzahl der Elemente von $A \cup B$ gleich $m+n$ ist.
Das geht mit vollständiger Induktion für $n.$
Induktionanfang $n=1.$ Dann ist $A \cup B = \{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1 \}.$ Es ist richtig.
Induktionschritt $n \rightarrow n+1.$
Die Behauptung gilte für $n.$
Sei $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n, b_{n+1} \}.$ Dann ist
\begin{align*}
A \cup B &=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n, b_{n+1} \}\\
&=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n \} \cup \{ b_{n+1} \}.
\end{align*} Die Anzahl der Elemente von $A \cup B $ ist deshalb $m+(n+1).$
Was zu beweisen war.



2016/03/30   Mathematik     399TB 0   399Com 0  

Algebra: eine Ausgabe

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von zwei fremden endlichen Mengen gleich der Summe der Anzehlen für die einzahlen Mengen ist. [ Vollständige Induktion mit Hilfe der Rekursionsformeln ]


2016/03/28   Mathematik     400TB 0   400Com 0  

Algebra: eine Ausgabe



Aufgabe.
Man beweise druch Induktion nach $n$, daß jede Untermenge einer endlichen Menge $A=\{ a_1, \dots,a_n\}$ wieder endlich ist.


Beweis.
Induktionanfang:
$n=1$. Dann ist $A=\{a_1\}.$ Also ist Untermenge von $A$ leer oder $A$ sich selbst. Dann die Behauptung ist klar.
Induktionschritt: $n \rightarrow n+1$.
Die Behauptung gilte richtig für $n$. Sei $A=\{a_1,\dots,a_{n+1}\}$. Wenn Untermenge $B$ von $A$ gleich $A$ ist, ist die Behauptung richtig. Deshalb ist es genug, daß wir nur echte Untermenge $B$ denken. Wir teilen $B$ in zwei F"alls. Zuerst, sei $a_{n+1} \notin B.$ Dann ist $B \subset A_1= \{a_1, \dots, a_n \}.$ Nach Induktionsvoraussetzung ist $B$ endlich. Zweitens sei $a_{n+1} \in B.$ Für eine $k$ mit $1\leqq k \leqq n$ muss $a_k \notin B$ sein.
Sei
\begin{equation*}
b_i= \begin{cases}
a_i \quad \quad ( 1 \leqq i < k)\\
a_{i+1} \quad (k \leqq i \leqq n).
\end{cases}
\end{equation*}
Dann ist $B \subset A_1= \{ b_1, \dots, b_{k-1}, b_{k+1}, \dots, b_n \}.$ Wieder nach Induktionsvoraussetzung $B$ ist endlich.
Was zu beweisen war.



2016/03/25   Mathematik     398TB 0   398Com 0  

Eine zweite Form der vollständigen Induktion eine Löung


Aufgabe
Eine Eigenschaft E gelte erstens für $n = 3$ und zweitens, wenn sie für $n \geqq 3$ gilt, auch für $ n + 1$. Zu beweisen ist, dass E für alle Zahlen $\geqq 3$ gilt.


Beweis
Es sei $A$ eine Menge, die Eigenschaft E für $n \geqq 3$ nicht hat. Wir werden $A=\phi$ beweisen. Sei $A \ne \phi$. Durch zweite Form der vollständge Induktion gibt es ein kleinste Zahl $m$ in Menge $A$. Wegen $n \geqq 3$, dann gibt es ein Zahl $n$ mit $m=n+1$. Wegen $ n \notin A$, gilt E für $n$. Aus Annahme gilt E für $n+1=m$. Das ist die Absurdität. Also $A=\phi$. $\quad w.z.b.w.$

2016/03/23   Mathematik     397TB 0   397Com 0  

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