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Gleichungen dritten und vierten Grades


Lösen Sie die folgende Gleichungen.
(1) $x^3+8=0$
(2) $x^4-x^2-2=0$
(3) $x^3-3x^2-6x+8=0$
(4) $2x^3-7x^2+2x+3=0$
(5) $x^4-3x^3-x^2-3x+18=0$

Beispiel (3)
($x^3-3x^2-6x+8) : (x-1)= x^2-2x-8 $
$\, \, x^3-x^2$
$ \hspace{0.5cm}\, \, \, -2x^2-6x$
$\hspace{0.5cm}\, \, \, -2x^2+2x$
$\hspace{1.55 cm}\, \, \, -8x+8$
$\hspace{1.55 cm} \, \, \, -8x+8$
$\hspace{2.8 cm} \, \, \, 0$

\begin{align*}
x^3-3x^2-6x+8 &= (x-1) (x^2-2x-8) \\
&= (x-1)(x+2)(x-6)\\
\therefore\quad x&=\quad 1\quad -2 \quad 6 \hspace{1cm} \square
\end{align*}


コメント
ドイツ語の数学書の解答例です.日本の高等学校で学習する整式の割り算と形式が少し異なるが本質的には同じことです.計算方法は式の展開を見れば分かると思います。

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2016/07/13   高校数学     408TB 0   408Com 0  

Gleichungen dritten und vierten Grades


Lösen Sie die folgende Gleichungen.
(1) $x^3+8=0$
(2) $x^4-x^2-2=0$
(3) $x^3-3x^2-6x+8=0$
(4) $2x^3-7x^2+2x+3=0$
(5) $x^4-3x^3-x^2-3x+18=0$


2016/07/11   高校数学     406TB 0   406Com 0  

質問に答えて

 複素数計算方法
\begin{align*}
&(3-2i)^2\\
&= 3^2-2\cdot 3 \cdot (2i) +(2i)^2 \\
&= 9-12i+4i^2\\
&= 9-12i +4 \cdot (-1)\\
&= 5-12i
\end{align*}

必要な公式
\begin{align*}
& (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
&i^{\, 2} =-1
\end{align*}

コメント
健闘を祈ります.

2016/06/08   高校数学     405TB 0   405Com 0  

二項定理の応用


問題 $(1-3x)^7$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ.

この問題の解答として次の例があった
$\displaystyle{\frac{7!}{5!\cdot 2!}}=21$ としたもの.残念だが誤りである.教科書の記述は
$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^pb^{\, q}c^r$ の項の係数は$\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r!}}$ である.この記述が問題である.

一般項まで含んだ形の公式をあげておくべきである.すなわち
$(a+b+c+\cdots)^n$ の展開式の一般項は
$\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r! \cdots}} a^pb^qc^r \cdots$ ただし $(p+q+r+\cdots=n ; \quad p, q, r, \cdots \geqq 0)$ を用いて

解答 $x^2$ を含む一般項は
$\displaystyle{\frac{7!}{5!\cdot 2!}}\cdot 1^5 (-3x)^2=21\cdot 9x^2=189x^2$
したがって求める係数は $189$ である.$\quad \square$

2016/05/04   高校数学     403TB 0   403Com 0  

整式の最大公約数

課題
2つの整式 $x^3-5x^2+9x-6$ と $x^3-6x^2+12x-8$ の最大公約数を互除法を用いてもとめる.

解答
1.$x^3-6x^2+12x-8$ を $x^3-5x^2+9x-6$ で割って
  商 $1$   余り  $-x^2+3x+2$
2. $x^3-5x^2+9x-6$ を $-x^2+3x+2$ で割って
  商 $-x+2$ 余り $x-2$
3.  $-x^2+3x+2$ を $x-2$ で割って
  商 $-x+1$ 余り $0$

よって求める最大公約数は $x-2$ である.  $\square$


2015/05/26   高校数学     351TB 0   351Com 0  

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