雅楽多文書館

2012年09月の記事一覧

ガウス

“素数に憑かれた人たち”(日経BP社)という本に、素数の頻度を求めるために、ガウスは1000個ずつ区切った幾つかの区画ごとに素数を数えて記録した、ということが書かれている。数え始めたのは1792年か1793年のことだというから15歳ぐらから数え始めたことになる。ガウスは一度に1000個の数の塊の中の素数をすべて数えていて、それは何十万にいたるまで続いた。「空いた時間の15分」を使い計算をした。このような研究の結果「素数の頻度が対数の反比例に近づく」ことに気づいた。

ちなみに10万番目の素数は1299709である(素数表から)。この数1299709が素数であることを確かめるだけでも大変な作業である。数学の天才と言われている人たちは、凡人には思いもよらないひらめきが天から与えられるものだ。と、思っていたが、ガウスのような天才でもこんな地道な、つまらない計算?をしていたことに感動した。でも、このような計算をおそらく何十年も続けたのであろうことを思えば、やはりガウスは偉大である。

次の数式は「素数の頻度が対数の反比例に近づく」を現代風に表現したものです。$N$が大きくなれば、$N$よりも小さな素数の数$\pi\, (N\, )$は漸近的に$\displaystyle{\frac{N}{\log N} }$に近づくという意味です。素数定理とよばれています。素敵定理です。
\[ \pi\, (N\, ) \thicksim \frac{N}{\log N} \]
数式の出ない方はこちらから 雅楽多文書館
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2012/09/30   雑記     119TB 0   119Com 0  

逆関数の微分

ラング“解析入門”にある問題です。数学Ⅲの知識で解けるかな。(MathJax を使用しています。しばらくすると数式が表れる、はずです。)
問題
$f(x)=x^3-2x+1$とし、これを区間 $x>\sqrt{2/3}$ の上でだけ定義された関数と考え、$g$をその逆関数とする。このとき、$g\ '(0)$、および$g\ '(5)$ をもとめよ。

2012/09/28   高校数学     118TB 0   118Com 0  

生徒の質問から その1(指数計算の優先順位)



指数法則を使う計算で次のような計算をみかけました。第1番目はかけ算を先に計算していますが誤りです。乗法優先の規則がありますが、足し算とかけ算があるときに適用します。このようなケースでは第2番目のように、書いてある順に計算をします。または、第3番目のように、すべてかけ算に直してから計算するのもよい方法です。
数式が表示できない場合はこちらから 雅楽多文書館
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\text{第1番目}\\
&(2a)^3 \div a^{-4}\times a^{-5}\\
&=8a^3 \div a^{(-4)+(-5)}\\
&=8a^3\div a^{-9}\\
&=8a^{3-(-9)}\\
&=8a^{12}
\end{aligned}
\quad \quad \quad
\begin{aligned}
&\text{第2番目}\\
&(2a)^3 \div a^{-4}\times a^{-5}\\
&=8a^3 \div a^{-4} \times a^{-5}\\
&=8a^{3-(-4)}\times a^{(-5)}\\
&= 8a^ {7+(-5)} \\
&=8a^2
\end{aligned}
\quad \quad \quad
\begin{aligned}
&\text{第3番目}\\
&(2a)^3 \div a^{-4}\times a^{-5}\\
&=8a^3 \times a^4 \times a^{-5}\\
&=8a^{3+4+(-5)}\\
&=8a^2\\
&
&
& &
\end{aligned}
\end{equation*}

2012/09/27   高校数学     117TB 0   117Com 0  

順列・組み合わせ


数学Aで学ぶ順列と組み合わせをとりあげました。基本的な公式と問題を扱っています。
詳しくはこちらから 雅楽多文書館

2012/09/23   高校数学     116TB 0   116Com 3  

今日のレッスン


Happy Farmer (ROBERT SCHUMANN) , Piece de Concert (FRANZ SCHBERT) , Caprice (FELIX MENDELSSOHN) , Tender Nanette (FRANCOIS COUPERIN)
レッスンの前に練習をしていたつもりだが、先生の演奏と全く違う、あたりまえだが。一人で演奏してると、テンポもリズムもいい加減になってしまう。とくに、今日は Tender Nanette が難しかった。6/8拍子の曲は少し自信がついてきたのだが練習不足だった。

2012/09/23   音楽     115TB 0   115Com 0  

映画(天地明察)みました


天文ファンには魅力的かな、物足りなく感じる人もいると思うけど。機械的な観測機材などがなかった時代の話なので興味があった。囲碁、和算、天文、暦などを小道具として使っている。関孝和は知っていたけど、この映画の主人公、安井算哲という人は知らなかった。

安井算哲(岡田准一)と村瀬えん(宮崎あおい)の夫婦愛もよい。この二人は、同じ年の、同じ日に亡くなったと最後のテロップに出たが、映画の中にもそれを暗示してる場面があった。それは、算哲がその妻えんに「俺より先に死なないでくれ」、えんは算哲に「私より先に死なないでください」、という場面である。ネタばれ?でもこんな所に、一番感動した。二人の言明が共に成り立つのは、二人が同時に亡くなることである。そして、実際二人は同じ年の、同じ日に亡くなったという。

2012/09/18   雑記     111TB 0   111Com 0  

剣道級審査


高校生と剣道の一級審査を受けた。おかしな経緯から、一緒に審査を受けることになった。高校に入学して、剣道を始めた生徒達である。生徒諸君も多少照れていたが、他校の高校生も何人か審査を受けていたので、私ほどは緊張していなかったようだ。面を着けているうちは、顔が見えないのでよかったが、木刀による剣道基本技稽古法や日本剣道形の実技は面を外して行うので、足が震えるほど緊張した。

級審査のため小さな子供が多く、まわりにはその子供達の若いお母様たちがたくさん見ている。自分がたぶん一番の年上だったと思う。なんでこんな年寄りが受けてるのだろう、というお母様たちの声が聞こえてくるような気がした。

この一月後ぐらいに、初段の審査に挑戦し全員が合格した。その後、この高校生達は私の良き練習相手になってくれた。

2012/09/18   剣道     112TB 0   112Com 0  

εーδ論法について


$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}x_n=0$ のとき
\[ \lim_{n \to \infty}\frac {x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=0 \]
であることを証明せよ。これを

\begin{eqnarray*}
LHS
&=&\lim_{n \to \infty}\frac {x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\\
&=&\lim_{n \to \infty}(\frac {x_1}{n}+\frac{x_2}{n}+\cdots+\frac{x_n}{n})\\
&=&\lim_{n \to \infty}\frac{x_1}{n}+\lim_{n \to \infty}\frac{x_2}{n}+\cdots+
\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n}\\
&=&0 +0+\cdots+0=0 =RHS
\end{eqnarray*}
とするのは誤りである、とありますが何故でしょうか?
ときに、答案の誤りを明確に指摘できないことがあります。そんな時には勉強不足を感じます。

2012/09/17   解析学     114TB 0   114Com 0  

問題の解答(級数)


数列の和・無限級数の解答です。雅楽多文書館

2012/09/16   高校数学     113TB 0   113Com 0  

初めての面着け


経験のある生徒達は 私に面を打ち込むことを ためらい 遠慮していた 
私にたいして どのように 対応すればよいのか 分からなかったそうだ

初心者の しかも年長者の 私の面を打つことに 抵抗があった 
と 部員が話してくれた 

剣道部員達の 人柄の良さ 優しさを 感じた

最初に部長が 「失礼します メエエエーン」 
と 軽く打ってきた 面に触れた程度だった 痛みは全く感じなかった



剣道部の顧問を 仰せ付かったとき 
剣道を 全く知らないのに なんで私なんだ という気持ちだった
仕事は たくさんあるのに なんで私なんだ という反発もあった 

部員達に 冷たく 無遠慮に 接していた    いまは恥じている
もっと素直に もっとはやくから この生徒達に 付き合ってやればよかった
いまでも 人間としての小ささを 大人げない態度を 情けなく 思っている

2012/09/10   剣道     110TB 0   110Com 0  

映画(るろうに剣心)みました。


主演「人斬り抜刀斎」こと若き剣客・緋村剣心に佐藤健、ヒロイン薫に武井咲。時代は幕末から明治。「不殺」の誓いのもと、逆刃刀を使い剣心が活躍する。剣道の先生が話してくれた「無刀の剣」や中国の故事にある弓を忘れてしまった弓の名人「記昌」の話などが思い浮かんだ。


2012/09/09   雑記     109TB 0   109Com 0  

一冊の数学書


ファン・デル・ヴェルデン著 “現代代数学1” 東京図書株式会社 1968年11月第14刷 ¥650
高校生(記憶違い?)のとき、地元の書店でこの本を買った。内容を少し見ただけで、微分の記号も積分の記号もなく文章と見慣れない記号が少し出てくるだけなので、おそらく簡単な本だと思ったのだろう。信じられないことが二つ。数学がそれほど得意なわけでもないのに、この本を手に取ったこと。こんな田舎に、このような専門書があったこと。あとで知ったことだが、世界的に読まれている代数学の専門書であった。私が買った、最初の数学の専門書となった。もちろん途中で挫折。開き直るわけではないが、読了した数学書なんて一冊もない。どの本も、どこかで行き詰まっている。

2012/09/09   雑記     108TB 0   108Com 0  

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