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2013年01月の記事一覧

合同式の解法


合同式の解法に必要な2つの定理を載せた.定理1はすでに証明済み.今回は定理2の証明が中心.$ax\equiv b \ ( \!\!\!\mod m\ )$ で $\gcd(a,m) \ne 1$ の場合の解き方がメインである. 練習問題も載せたので解いてください.
例題 $18x \equiv 8 (\!\!\!\mod 14)$ を解く.
解. $\gcd(18,14)=2$ より2個の解がある.
不定方程式 $18x-14y=8$ を解いて$x=2, \ y=2$ が得られる.
よって,$x \equiv 2 \ (\!\!\!\mod 14)$ が一つの解である.
他の解は $x=2+\displaystyle{\frac{14}{2}t}$ で$t=1$ のときだから$x \equiv 9 \ (\!\!\!\mod 14)$ である.

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2013/01/22   整数論     149TB 0   149Com 0  

合同式の定理


Theorem $\ $ If $ca \equiv cb \ (\!\!\!\mod m\ )$, then
(a) $\gcd(c \ ,m)=1 \Longrightarrow a \equiv b \ (\!\!\!\mod m\ )$,
(b) $\gcd(c \ ,m)=d \Longrightarrow a \equiv b \ (\!\!\!\mod \displaystyle{\frac{m}{d}}\ )$.

Proof $\ $ By the assumption $ca \equiv cb \ (\!\!\!\mod m\ )$,
\[ m|c(a-b) \cdots(1) \] (a) From given condition $\gcd(c,m)=1$, we obtain $m|(a-b)$ equivalently
\[a \equiv b \ (\!\!\!\mod m\ )\] (b) From given condition $\gcd(c,m)=d$,
there exist integers $c' \ $, $m' \ $such that $\ c=dc'\ $,$\ m=dm'\ $and $\gcd(c',m')=1$.
We substitute this expression to (1).
\[dm'|dc'(a-b) \quad \ i.e. \quad m'|c'(a-b) \ \] Since $\gcd(c',m')=1$ , $m'(=\displaystyle{\frac{m}{d}})$ divides $(a-b)$. Hence
\[ a \equiv b \ (\!\!\!\mod \displaystyle{\frac{m}{d}}\ ) \quad \quad \text{Q.E.D.} \]  

Example $\ $ Solve the congruence $7x\equiv -1 \ (\!\!\!\mod11\ )$.
Solution
$7x\equiv -1 \ (\!\!\!\mod11\ )$
$21\equiv -1 \ (\!\!\!\mod11\ )$
$7x\equiv 21 \ (\!\!\!\mod11\ )$
Since $\gcd(21,7)=1 $, divide both sides by 7
$x\equiv 3 \ (\!\!\!\mod11\ )$ $\quad$ q.e.d.

2013/01/19   整数論     148TB 0   148Com 0  

連立合同式の解法


Solve the following simultaneous congruences.
\[ x \equiv 1 \ (\!\!\!\!\mod 4\ ) \quad \text{and} \quad x \equiv 0 \ (\!\!\!\mod 7\ ) \] Solution
We put $x=x_1+4x_2$ and substitute this into the first congruence.
\[ x_1+4x_2 \equiv 1 \ (\!\!\!\!\mod 4\ ) \]We put $x_1=1$ i.e. $x=1+4x_2$. This is the solution of the first congruence. We substitute this into the second congruence.
\[ 1+4x_2 \equiv 0 \ (\!\!\!\!\mod 7\ ) \ \text{ i.e.} \ 4x_2 \equiv -1 \ (\!\!\!\!\mod 7\ )\ \] We will multiply both sides by 5. This gives
\[ 20x_2 \equiv -5 \ (\!\!\!\!\mod 7\ ) \] But $20\equiv -1 \ (\!\!\!\!\mod 7\ )\ $, so $x_2\equiv 5 \ (\!\!\!\!\mod 7\ )$. $\
$Thus, the solution is $x\equiv 5 \ (\!\!\!\!\mod 7\ )\ $ and then we can find the solution to the original congruences using $x=1+4 \times 5=21$.
\[ x \equiv 21 \ (\!\!\!\!\mod 28\ )\ \] Finally, we shoud check our answer.
$21 \equiv 1 \ (\!\!\!\!\mod 4\ )$ $\quad$and $\quad$ $ 21 \equiv 0 \ (\!\!\!\!\mod 7\ )$ $\quad$ q.e.d.

2013/01/15   整数論     147TB 0   147Com 0  

合同式の応用(循環小数)


『算数からはじめよう!数論』から問題4.26を解いてみた.この本の解答は答のみであるが,簡単な解説を試みた.簡単な計算の積み重ねが大切.
問題4.26
(1)23を法とする2の位数を求めよ.
(2)分数 $\displaystyle{\frac{1}{47}}$ を小数で表したときの循環節の長さを求めよ.
(3)$\displaystyle{\frac{1}{29}}$ を小数で表せ.
解説はこちらから 雅楽多文書館 

2013/01/11   整数論     146TB 0   146Com 0  

AMS - LATEX における文字のフォントおよび文字サイズ


AMS - LATEXを使い文字を書くときの,サイズとフォントの指定について少しの実例をあげてみた.主にアルファベットの出力が中心になっている.プリアンブルに次のパッケージをロードしておくことが必要である.ドキュメントクラスは書式が少し変わるが jarticle よりも amsart のほうが使いやすい.
\documentclass{amsart}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[mathscr]{eucal}
出力の結果はこちらから  雅楽多文書館

2013/01/05   Programming     145TB 0   145Com 0  

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