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2013年06月の記事一覧

## オメガの計算

139(2)の解答
$\omega$は１の３乗根だから$\omega^3=1$
$\omega$は１の３乗根のうち虚数根だから$\omega^2+\omega +1=0$
$\omega^3=1$および $\omega^2+\omega+1=0$
この２つの式が成り立つから
$\omega^8=(\omega^3)^2\omega^2=1^2\omega^2=\omega^2$
$\omega^4=\omega^3\omega=1\omega=\omega$ より
$\omega^8+\omega^4+1=\omega^2+\omega+1=0$
（１），（３）も同様に計算すること
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## Exercise 7.2

Exercise 7.2
Suppose that $\gcd(a,b)=1$, and suppose further that $a$ divides $c$ and $b$ divides $c$.
Show that the product $ab$ must divide $c$.
Proof
From The Linear Equation Theorem, there exist integers $x$ and $y$ such that
$ax+by=1.$ Multiply both sides of the equation by $c$. This gives
$acx+bcy=c.$ Since $a$ and $b$ divides $c$, there exist integers $s$ and $t$ such that $c=as$ and $c=bt$.
By substituting to the equation , we obtain
$abtx+absy=c.$ It follows that $ab$ divides the sum
$absx+abty,$ so $ab$ divides $c$. 　　　　　　　　　　q.e.d.

## Exercise 7.1

Suppose that $\gcd(a,b)=1$, and suppose further that $a$ divides product $bc$. Show that $a$ must divide $c$.
proof
We use the Linear Equation Theorem with the numbers $a$ and $b$. We can find integers $x$ and $y$ that solve the equation
$ax+by=1 .$ Now multiple both sides of the equation by $c$. This gives $acx+bcy=c .$ Certainly $acx$ is divisible by $a$ and also $bcy$ is divisible by $a$, since we know that $a$ divides $bc$. It follows that $a$ divides the sum $acx+bcy .$ so $a$ divides $c$.　　　　　　q.e.d.

## Linear Equation.

Find all integer solutions to the equation
$6x+15y+20z=1.$

Solution
Since $\gcd(6,15)=3$, the equation
$6x+15y=3$ has a solution
$x=-2-5t$, $y=1+2t$.
Let $2x+5y=u$ then given equation is
$3u+20z=1$, and also this equation has a
solution $u=7-20s$, $z=-1+3s$.
The equation $u=2x+5y=7-20s$ has the
solution $x_1=-14+40s$, $t_1=7-20s$.
Therefor the solution for $6x+15y+20z=1$ is a
$x=-14-5t+40s$
$y=7+2t-20s$
$z=-1+3s$
with $s$, $t$ any integer.

## フルートのレッスン

ビゼーのメヌエット「アルルの女」これは何年もかかりそうです．
バッハのシチリアーノ「Siciliano」
１６世紀イタリア曲シチリアーナ「Siciliana」

## Linear Equation.

Find all integer solutions to the equation
$6x+15y+20z=1.$

## Linear Equation.

Find a solution in integers to the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$

Solution
The Euclidean algorithm
$67890=5\times 12345+6165$
$12345=2\times 6165+15$
$6165=411\times 15+0$
Therefor $\gcd(12345,67890)=15$

Solution $ax+by=\gcd(a,b)$
\begin{eqnarray*}
6165&=&67890-5\times12345\\
15&=&12345-2\times6165\\
&=&12345-2\times(67890-5\times12345)\\
&=&11\times12345 -2\times67890\\
\end{eqnarray*}
Thus the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$
has the solution $(x,y)=(11,-2)$.

## 質問に答えてその５（平行移動の原理）2013/6/4

$x$ 軸方向に$x_1$, $y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動したグラフの方程式は
$y-y_1=f(x-x_1)$ である．

$y=f(x)$ 上の点 $x$, $y$ を
$x$ 軸方向に$x_1$, $y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動した点を$X$, $Y$ とすると
$x+x_1=X$, $y+y_1=Y$ であるから
$x=X-x_1$, $y=Y-y_1$
これらを(1)に代入すると
$Y-y_1=f(X-x_1)$
すなわち $y-y_1=f(x-x_1)$ がなりたつ．
q.e.d.

## 質問に答えてその４（２直線の関係）2013/6/3

$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$ である．

この直線に垂直で原点を通る直線の

$ax+by+c=0$ を変形すると
$y=-\displaystyle{\frac{a}{b}}x-\displaystyle{\frac{c}{b}}$
よって，原点をとおる直線の方程式は
$y=\displaystyle{\frac{b}{a}}x$ この式を変形して
$bx-ay=0$ この直線を
$x$ 軸方向に$x_1$，かつ$y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動すればよいから

$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$
が得られる．

$x$ 軸方向に$x_1$ ，$y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動するのは
$x$ を$x-x_1$ で，$y$ を$y-y_1$
で置き換えればよい．
この問題では，原点が点 $(x_1,y_1)$
にくるように平行移動した．

## Linear Equation.

Find a solution in integers to the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$

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