雅楽多文書館

2013年06月の記事一覧

オメガの計算

139(2)の解答
$\omega$は1の3乗根だから$\omega^3=1$
$\omega$は1の3乗根のうち虚数根だから$\omega^2+\omega
+1=0$
$\omega^3=1$および $\omega^2+\omega+1=0$
この2つの式が成り立つから
$\omega^8=(\omega^3)^2\omega^2=1^2\omega^2=\omega^2$
$\omega^4=\omega^3\omega=1\omega=\omega$ より
$\omega^8+\omega^4+1=\omega^2+\omega+1=0$
(1),(3)も同様に計算すること
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2013/06/28   高校数学     200TB 0   200Com 0  

Exercise 7.2

Exercise 7.2
Suppose that $\gcd(a,b)=1$, and suppose further that $a$ divides $c$ and $b$ divides $c$.
Show that the product $ab$ must divide $c$.
Proof
From The Linear Equation Theorem, there exist integers $x$ and $y$ such that
\[ ax+by=1. \] Multiply both sides of the equation by $c$. This gives
\[ acx+bcy=c. \] Since $a$ and $b$ divides $c$, there exist integers $s$ and $t$ such that $c=as$ and $c=bt$.
By substituting to the equation , we obtain
\[ abtx+absy=c. \] It follows that $ab$ divides the sum
\[ absx+abty, \] so $ab$ divides $c$.           q.e.d.

2013/06/25   整数論     199TB 0   199Com 0  

Exercise 7.1

Suppose that $\gcd(a,b)=1$, and suppose further that $a$ divides product $bc$. Show that $a$ must divide $c$.
proof
We use the Linear Equation Theorem with the numbers $a$ and $b$. We can find integers $x$ and $y$ that solve the equation
\[ ax+by=1 . \] Now multiple both sides of the equation by $c$. This gives \[ acx+bcy=c . \] Certainly $acx$ is divisible by $a$ and also $bcy$ is divisible by $a$, since we know that $a$ divides $bc$. It follows that $a$ divides the sum \[ acx+bcy . \] so $a$ divides $c$.      q.e.d.

2013/06/23   整数論     198TB 0   198Com 0  

Linear Equation.

Find all integer solutions to the equation
$6x+15y+20z=1.$

Solution
Since $\gcd(6,15)=3$, the equation
$6x+15y=3$ has a solution
$x=-2-5t$, $y=1+2t$.
Let $2x+5y=u$ then given equation is
$3u+20z=1$, and also this equation has a
solution $u=7-20s$, $z=-1+3s$.
The equation $u=2x+5y=7-20s$ has the
solution $x_1=-14+40s$, $t_1=7-20s$.
Therefor the solution for $6x+15y+20z=1$ is a
$x=-14-5t+40s$
$y=7+2t-20s$
$z=-1+3s$
with $s$, $t$ any integer.

2013/06/14   整数論     197TB 0   197Com 0  

フルートのレッスン

久しぶりにフルートの練習をする.
ビゼーのメヌエット「アルルの女」これは何年もかかりそうです.
バッハのシチリアーノ「Siciliano」
16世紀イタリア曲シチリアーナ「Siciliana」

2013/06/10   音楽     190TB 0   190Com 0  

Linear Equation.

Find all integer solutions to the equation
$6x+15y+20z=1.$

2013/06/09   整数論     196TB 0   196Com 0  

Linear Equation.


Find a solution in integers to the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$

Solution
The Euclidean algorithm
$67890=5\times 12345+6165$
$12345=2\times 6165+15$
$6165=411\times 15+0$
Therefor $\gcd(12345,67890)=15$

Solution $ax+by=\gcd(a,b)$
\begin{eqnarray*}
6165&=&67890-5\times12345\\
15&=&12345-2\times6165\\
&=&12345-2\times(67890-5\times12345)\\
&=&11\times12345 -2\times67890\\
\end{eqnarray*}
Thus the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$
has the solution $(x,y)=(11,-2)$.

2013/06/06   整数論     195TB 0   195Com 0  

質問に答えてその5(平行移動の原理)2013/6/4


命題
関数 $y=f(x) \cdots(1)$のグラフを
$x$ 軸方向に$x_1$, $y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動したグラフの方程式は
$y-y_1=f(x-x_1)$ である.

証明
$y=f(x)$ 上の点 $x$, $y$ を
$x$ 軸方向に$x_1$, $y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動した点を$X$, $Y$ とすると
$x+x_1=X$, $y+y_1=Y$ であるから
$x=X-x_1$, $y=Y-y_1$
これらを(1)に代入すると
$Y-y_1=f(X-x_1)$
すなわち $y-y_1=f(x-x_1)$ がなりたつ.
                q.e.d.



2013/06/04   高校数学     194TB 0   194Com 0  

質問に答えてその4(2直線の関係)2013/6/3


問題 直線$ax+by+c=0$ に垂直な直線の方程式は
$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$ である.

解答
この直線に垂直で原点を通る直線の
方程式を求める.
$ax+by+c=0$ を変形すると
$y=-\displaystyle{\frac{a}{b}}x-\displaystyle{\frac{c}{b}}$
よって,原点をとおる直線の方程式は
$y=\displaystyle{\frac{b}{a}}x$ この式を変形して
$bx-ay=0$ この直線を
$x$ 軸方向に$x_1$,かつ$y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動すればよいから
求める直線の方程式は
$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$
が得られる.

注意 平行移動について
一般にグラフを
$x$ 軸方向に$x_1$ ,$y$ 軸方向に$y_1$
だけ平行移動するのは
$x$ を$x-x_1$ で,$y$ を$y-y_1$
で置き換えればよい.
この問題では,原点が点 $(x_1,y_1)$
にくるように平行移動した.

平行な直線についても同様に計算をしてください.


2013/06/03   高校数学     193TB 0   193Com 0  

Linear Equation.


Find a solution in integers to the equation
$12345x+67890y=\gcd(12345,67890)$

2013/06/01   整数論     192TB 0   192Com 0  

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