雅楽多文書館

2013年08月の記事一覧

(p-1)! (mod p) の値を求める.

前回の解答です.
$p$が素数のとき$(p-1)!$ (mod p)の値を予想し,それが正しいことを証明する.
http://kiyosihp.web.fc2.com/factorial63.pdf

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2013/08/29   整数論     215TB 0   215Com 0  

(p-1)! (mod p) の値を求める.

(a) p を素数とする.小さな素数pに対して$(p-1)!$ (mod p) を計算し,パターンを見つけ,予想を立てよ.
(b) 予想が正しいことを証明せよ.

2013/08/27   整数論     214TB 0   214Com 0  

congruence Exercise

次の合同式を解いてください.
(a) $0 \leqq a <73 $ かつ $a \equiv 9^{794} $ ( mod 73)
(b) $x^{86} \equiv 6$ ( mod 29 )
(c) $x^{39} \equiv 3$ ( mod 13)

解答はこちら
http://kiyosihp.web.fc2.com/congruencep63.pdf

2013/08/25   整数論     213TB 0   213Com 0  

Inequalities.

If $a$, $b$ are two numbers, then show that
\[ |a+b| \leqq |a|+|b|. \]
高校生の皆さんはそろそろ新学期が始まります.頭を勉強のモードに切り替えてください.まず,英語と数学の勉強を同時に復習しましょう.三角不等式の証明です.使用した文献はラングさんの『解析入門』(岩波書店)です.解析学(微分・積分)の教科書はたくさん出版されてますが,この教科書は高校生でも読めるということですので挑戦してみたらどうでしょうか.

数式が出ない人はこちらから
http://kiyosihp.web.fc2.com/inequality.pdf

2013/08/16   高校数学     211TB 0   211Com 0  

Was sind und was sollen die Zahlen?


リヒャロト・デデキントの『数とは何かそして何であるべきか』の原書(Was sind und was sollen die Zahlen?)を読もうとして取り寄せたが,1893年出版の古い本なので髭文字(Fraktur)で書かれていた.それに慣れるために現代的なフォントに書き直してみた.注意深く髭文字を見ていると微妙な違いが分かり,髭文字のままで読めるようになった.しかし,本の内容は翻訳で読んでも難しい.

2. Es kommt sehr häufig vor, dass verschiedene Dinge a, b, c$\cdots$ aus irgent einer Veranlassung unter einem gemeinsamen Gesichtspuncte ausgefasst, im Geiste zusammengestellt werden, und man sagt dann, dass sie ein System S bilden; man nennt die Dinge a, b, c$\cdots$ die Elemente des Systems S, sie sind enthalten in S; umgekehrt besteht S aus diesen Elementen. Ein solches System S (oder ein Inbegriff, ein Mannigfaltigkeit, eine Gesammtheit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls ein Ding(1); es ist vollständig bestimmt, wenn von jedem Ding bestimmt ist, ob es Element von S int oder nicht). Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T, und jedes Element von T auch Element vonS ist. Für die Gleichformigkeit der Ausdruchksweise ist es vortheilhaft, auch den besonderen Fall zuzulassen, das ein System S aus einem einzigen (aus einem und nur einem) Element a besteht, d.h. dass das Ding a Element von S, aber jedes von a verschiedene Ding kein Element von S ist. Dagegen wollen wir das leere System, welches gar kein Element enthält, aus gewissen Gründen hier ganz ausschliessen, obwohl es für andere Untersuchung bequem sein kann, ein solches zu ersichten.

http://kiyosihp.web.fc2.com/zahlen.pdf

dede2.jpg


2013/08/10   ドイツ語     209TB 0   209Com 0  

合同式解答


『はじめての数論』の練習問題8.3. に解答を与えた.
次の合同式を解きなさい
(a) 8x≡6 ( mod 14 )
(b) 66x≡100 (mod 121 )
(c) 21x≡14 (nod 91 )

http://kiyosihp.web.fc2.com/congruencep57.pdf

2013/08/09   整数論     210TB 0   210Com 0  

Was sind und was sollen die Zahlen?

Aus Fraktur in Osaka.
§1 Systeme von Elementen.
1.  Im Volgenden verstehe ich unter einem Ding jeden Gegenstand unseres Denkens. Um bequem von den Dingen sprechen zu können, bezeichnet man sie durch Zeichen, z.B. durch Buchstaben, und man erlaubt sich, kurz von dem Ding a oder gar von a zu sprechen, wo man in Wahrheit das durch a bezeichnete Ding, keineswegs den Buchstaben a selbst meint.  Ein Ding ist vollständig bestimmt durch alles Das, was von ihm ausgesagt oder gedacht werden kann.  Ein Ding a ist dasselbe wie b ( identisch mit b ), und b daseselbe wie a, wenn Alles, was von a gedacht werden kann, auch von b, und wenn Alles, was von b gilt, auch von a gedacht werden kann.   Dass a und b nur Zeichen oder Namen für ein und dasselbe Ding sind, wird durch das Zeichen a=b, und ebenso durch b=a angedeutet.  Ist ausserden b=c, ist also c ebenfalls wie a, ein Zeichen für das mit b bezeichnet Ding, so ist auch a=c.   Ist die obige Übereinstimmung des durch a bezeichneten Dings mit dem durch b bezeichneten Dinge nicht vorhanden, so heissen diese Dinge a,b verschieden, a ist ein anderes Ding wie b, b ein anderes Ding wie a; es giebt ( gibt?) irgend eine Eigenschaft, die dem einen zukommt, dem anderen nicht zukommt.

http://kiyosihp.web.fc2.com/zahlen.pdf

2013/08/07   ドイツ語     208TB 0   208Com 0  

Was sind und was sollen die Zahlen?

Aus Fraktur in Osaka
Was sind und was sollen die Zahlen?
Inhalt
Vorwort
§1 Systeme von Elementen.
§2 Abbildung eines Systems.
§3 Aehlichkeit einer Abbildung. Aehliche Systeme.
§4 Abbildung eines Systems in sich selbst.
§5 Das Endliche und Unendliche.
§6 Einfach unendliche Systeme. Reihe der natürlichen Zahlen.
§7 Größere und kleinere Zahlen.
§8 Endlich und unendlich Theile der Zahlenreihe.
§9 Definition einer Abbidung der Zahlenreihe durch Induction.
§10 Die Classa der einfach unendlichen Systeme.
§11 Addition der Zahlen.
§12 Multiplication der Zahlen.
§13 Potenzirung der Zahlen.
§14 Anzahl der Elemente eines endlichen Systems.


2013/08/05   ドイツ語     207TB 0   207Com 0  

Fraktur


Was sind und was sollen die Zahlen ?
Ich möchte dieses Buch lesen, aber Fraktur ist mir zu schwer.

buch

2013/08/03   ドイツ語     205TB 0   205Com 0  

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