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2013年10月の記事一覧

Definition des Grenzwerts

Definition des Grenzwerts:
Seien f eine Funktion und a eine reelle Zahl. $\displaystyle{\lim_{x \to a}}f(x)$ existiert dann und nur dann, wenn
1. $\displaystyle{\lim_{x \to a^-}}f(x)$ existiert,
2. $\displaystyle{\lim_{x \to a^+}}f(x)$ existiert und
3. $\displaystyle{\lim_{x \to a^-}}f(x)=\displaystyle{\lim_{x \to a^+}}f(x)$

Übung:
Setzen Sie $f(x)= \displaystyle{ \frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)(x+1)}}$ und berechnen Sie $\displaystyle{\lim_{x \to 3}f(x)}$.

Antwort
$\displaystyle{\lim_{x \to 3^-}f(x)=\infty}$  und  $\displaystyle{\lim_{x \to 3^+}f(x)}=-\infty$
Der Grenzwert nicht existiert, weil die Grenzwerte von links und von rechts ungleich sind.

ドイツ語のテキストによる極限値の定義と例題です.このテキストは解析学を初めて習う生徒,知識のブラッシュアップを望む生徒,様々な年代の大人向けのテキストとして書かれたようです.そのためか,解答にはグラフが描かれていて,数式や計算よりも言葉による説明がていねいに書かれているような印象を持ちました.

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2013/10/27   解析学     225TB 0   225Com 0  

Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen lösen
Methode3:Quadratische Ergänzung
Lösen Sie $3x^2=24x+27$
1. Bringen Sie die $x^2$- und die $x$-Terme auf eine Seite und die Konstante auf die andere Seite.
$3x^2-24x=27$

2. Dividieren Sie beide Seiten durch den Koeffizienten von $x^2$ ( es sei denn, er ist gleich 1).
$x^2-8x=9$

3. Halbieren Sie den Koeffizienten von $x$, quadrieren Sie ihn und addieren Sie ihn auf beiden Seiten.
$x^2-8x+16=9+16$

4. Faktorisieren Sie die linke Seite. Beachten Sie, dass der Faktor immer dieselbe Zahl enthalten muss, die Sie in Schritt 3 ermittelt haben ( in diesem Fall ist das $-4$) .
$(x-4)^2=25$

5. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten. Achten Sie dabei darauf, auf der rechten Seite das Zeichen $\pm$ zu verwenden.
$\sqrt{(x-4)^2}=\sqrt{25}$
$x-4=\pm5$

6. Lösen Sie.
$x=4\pm5$
 $=9$ oder $-1$


2013/10/18   Mathematik     224TB 0   224Com 0  

ドイツ語で2次方程式(その1)

Quadratische Gleichungen lösen
Methode 1: Faktorisieren
Lösen Sie $2x^2-5x=12$
1. Bringen Sie alle Terme auf eine Seite der Gleichung, damit auf der anderen Seite 0 steht.
$2x^2-5x-12=0$

2. Fakorisieren Sie.
$(2x+3)(x-4)=0$

3. Setzen Sie jeden Faktor gleich 0 und lösen Sie auf (unter Verwendung der Produkteigenschaft von 0).
$2x+3=0$     $x-4=0$
$2x=-3$    oder
$x=-\frac{3}{2}$       $x=4$

Diese Gleichung hat also zwei Lösungen: $x=-\frac{3}{2}$ und $x=4$.

Methode 2: Die abc-Formel
Die Lösung oder die Lösungen einer quadratischen Gleichung, $ax^2+bx+c=0$, ergeben sich aus der abc-Formel:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
1. Bringen Sie alle Terme auf eine Seite der Gleichung, damit auf der anderen Seite nur noch null steht.
$2x^2-5x-12=0$

2. Setzen Sie die Koeffizienten in die Formel ein.
In diesem Beispiel ist $a$ gleich 2, $b$ ist $-5$ und $c$ ist $-12$, damit erhalten Sie:
$x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4(2)(-12)}} {2\cdot 2}=\frac{5\pm11}{4}=4 , -\frac{3}{2}$

Dies stimmt mit den oben ermittelten Lösungen überein - und das ist auch gut so, weil wir schließlich dieselbe Gleichung lösen.

2013/10/14   Mathematik     223TB 0   223Com 0  

数学小説

今回は短編小説の紹介です.
『第四次元の小説』C・ファディマン編/三浦朱門訳, 荒地出版社,1971年改訂

この中に「悪魔とサイモン・フラグ」という短編がある.悪魔と数学者が賭けをする話である.数学者が出す問題を悪魔が二十四時間以内に解けるかどうかという賭けであるが、何を賭けるかはお定まりなので省略する.悪魔は短時間で数学を研究するが解けず、土星の微分方程式を暗算で解くほどの数学者などに応援を求めるがそれでも解答できず結局負ける、という内容である.

この本は高校を卒業するころに読んだ.読み終わった本や雑誌は何度も捨てたが、この本は捨てられなかった.数学の内容を題材にした、SFとも一味違う小説である.トポロジーの話題が多い.最後に「第四次元空間への招待」という付録があり、メビウスの帯、クラインの壷などの数学者による解説があるが理解できなかった.

因みに数学者が出した問題は「フェルマーの最終定理」である.1994年10月にワイルズさんが解決したが、この本が改訂出版された1971年ころは未解決だった.数学愛好家ならば一度は挑戦したくなる問題である.二十世紀にこの問題が解決されるとは思わなかった.私たちはいま数学が途轍もなく発展している時代に生きているのかもしれない.

フェルマーの最終定理
$x^n+y^n=z^n$ なる等式で $n$ が2より大きな正の整数である場合これが成立しない.

写真

2013/10/10   雑記     222TB 0   222Com 2  

ドイツ語の語順についての疑問


ドイツ語の語順について
ある文法書に次のことが書かれていた.
1 名詞が続くときは、3格、4格の順.
例 Ich schenke meiner Frau ein Buch. (私は私の妻に一冊の本を贈る)3格、4格の順

ある文法書に次のことが書かれていた.
2 名詞が続くときは、定冠詞の名詞、不定冠詞の名詞の順.
例 Ich schenke der Frau ein Buch. (私はその女性に一冊の本を贈る)定の名詞、不定の名詞の順.

疑問 そこで「私はある女性にその本を贈る」をドイツ語にするとどのような語順になるのでしょうか?
解答1 Ich schenke einer Frau das Buch.
解答2 Ich schenke das Buch einer Frau.
解答3 どちらでもよい.
解答4 どちらも誤り.

2013/10/05   ドイツ語     221TB 0   221Com 0  

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