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2013年11月の記事一覧

Sätze und Beweise

Sätze und Beweise
Satz 1.2
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis: Sei $(a_n)_{n \in N}$ eine konvergente Folge, die gegen $a$ konvergiert. Da die Folge konvergent ist, können wir zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_0 \in N$ finden mit $|a_n-a| < \epsilon$ $\, \forall \geq n_0$.
Wir wählen $\epsilon=1$.
$|a_n|=|a_n-a+a|$
  $\leq |a_n-a|+|a|<1+|a|$ $\forall n\geq n_0$
Der erste Summand ist durch $\epsilon$ (in unserem Fall durch 1) beschränkt, und $|a|$ ist sowieso beschränkt (da fest).
Da außerdem die Menge { $a_1, \cdots, a_{n_0}$ } durch Maximum und Minimum der Menge beschränkt ist, ist also die Folge beschränkt. $\quad \quad$q.e.d.

超訳
定理 収束する数列は有界である.
証明 数列 $(a_n)_{n \in N}$ を$a$ に収束する数列とする.数列は収束するので,ある自然数 $n_0$があり$n \geq n_0$ となるようなすべての自然数 $n$ に対して$|a_n-a|< \epsilon $ とすることができる.
いま,$ \epsilon =1$ とすると
$|a_n|=|a_n-a+a|$
  $\leq |a_n-a|+|a|<1+|a|$ $\quad$ $\forall n\geq n_0$
が成り立つ.最初の数は$\epsilon $ によって制限される.($\epsilon$は1ときめてある) $|a|$はもちろん有界である.ほかに集合 {$a_1, \cdots, a_{n_0}$ } 最小値と最大値によって制限されているので数列は有界である. 証明終了.


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2013/11/28   解析学     231TB 0   231Com 0  

Sätze und Beweise

Sätze und Beweise
Satz 1.1 (Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge )
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Beweis
Seien $a$ und $a'$ zwei Grenzwerte der Folge $(a_n)_{n \in N}$. Dann existiert für alle $\epsilon >0$ ein $N_1 \in N$ mit der Eigenschaft, dass $| a_n-a|< \frac{\epsilon}{2}$ $\, $ $\forall n \geq N_1$.
Da aber auch $a'$ ein Grenzwert der Folge sein soll, existiert für alle $\epsilon >0$ ein $N_2 \in N$ mit der Eigenschaft, dass $| a_n-a'|< \frac{\epsilon}{2}$ $\, $ $\forall n \geq N_2$.
Die Abschätzung
$|a-a'|=|a-a_n+a_n-a'|$
   $\leq |a-a_n|+|a_n-a'|$
    $< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}= \epsilon$
$\forall n \geq \max \{N_1,N_2\}$ ergibt $ a-a'=0 \Rightarrow a=a'$.
Und dies beweist den Satz.
q.e.d.

超訳
定理 1.1 (極限値の一意性)
収束する数列の極限値はただ一つである.
証明
$a$,$a'$を数列 $(a_n)_{n \in N}$の極限値とする.
$a$ が数列の極限値なので,すべての $\epsilon >0$ に対して,自然数 $N_1 \in N$があり,$ N_1$より大きいすべての $n$ に対して$| a_n-a|< \frac{\epsilon}{2}$ が成り立つ.
$a'$も数列の極限値なので,すべての $\epsilon >0$ に対して自然数 $N_2 \in N$があり,$ N_2$より大きいすべての $n$ に対して$| a_n-a'|< \frac{\epsilon}{2}$ が成り立つ.
これから,次の式が成り立つ.
$|a-a'|=|a-a_n+a_n-a'| \leq |a-a_n|+|a_n-a'|< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}= \epsilon$
$\forall n \geq \max \{N_1,N_2\}$ ergibt $ a-a'=0 \Rightarrow a=a'$.
以上で定理が証明できた.

2013/11/26   解析学     230TB 0   230Com 0  

Häufungspunkt, Cauchy Folge, Limes superior und Limes inferior

Definition 7 ( Häufungspunkt )
Eine reele Zahl x heißt Häufungspunkt einer reellen Folge $(a_n)_{n \in N}$, wenn es eine Teilfolge $(a_{n_k})_{n_k \in N}$ von $(a_n)_{n \in N}$ gibt, die gegen x konvergiert.
超訳 定義 ( 集積点 )
ある実数xが実数列$(a_n)_{n \in N}$の集積点であるとは,xに収束する数列$(a_n)_{n \in N}$の部分列$(a_{n_k})_{n_k \in N}$が存在することである.

Definition 8 ( Cauchy Folge )
Eine Folge reeller Zahlen heißt Cauchy Folge, wenn Folgendes gilt:
$ \forall \epsilon >0 $ $\quad$ $ \exists \, n_0 \in N$ $\quad$ $|a_n - a_m |< \epsilon $ $\quad$ $ \forall \, m,n \geqq n_0$
超訳 定義( Cauchy 列 )
実数列がコーシー列であるとは,任意の$\epsilon >0 $に対して,ある自然数$ \exists \, n_0 \in N$が存在し,$n_0$ より大きいすべての自然数$m$, $n$ に対して$\quad$ $|a_n - a_m |< \epsilon $ が成り立つことである.

Definition 9 ( Limes superior und Limes inferior )
Seien $(a_n)_{n \in N}$ eine reelle Folge und $H(a_n)$ die Menge aller Häufungspunkte der Folge .
1. Ist die Folge $(a_n)_{n \in N}$ nach oben beschränkt und $H(a_n) \ne \phi$ , so nennen wir $ \lim \sup_{n \to \infty} a_n = \sup H(a_n)$ den Limes superior.
2. Ist die Folge $(a_n)_{n \in N}$ nach unten beschränkt und $H(a_n) \ne \phi$ , so nennen wir $ \lim \inf_{n \to \infty} a_n = \inf H(a_n)$ den Limes inferior.
超訳 定義( 上極限 下極限 )
数列$(a_n)_{n \in N}$を実数列,$H(a_n)$をその数列の集積点の集合とする.
1.数列$(a_n)_{n \in N}$が上に有界で, $H(a_n)$が空集合ではないとき
$ \lim \sup_{n \to \infty} a_n = \sup H(a_n)$ を上極限という.
2.数列$(a_n)_{n \in N}$が下に有界で, $H(a_n)$が空集合ではないとき
$ \lim \inf_{n \to \infty} a_n = \inf H(a_n)$ を下極限という.



2013/11/17   解析学     229TB 0   229Com 0  

Monotonie Folgen und Teilfolgen


Definition 5 ( Monotonie von Folgen )
Eine reele Folge $(a_n)_{n \in N}$ heißt monoton wachsend, falls für alle $n \in N$ gilt, dass $a_n \leqq a_{n+1}$. Sie heißt streng monoton waschend, falls für alle $n \in N$ gilt, dass $a_n < a_{n+1}$.
Eine reele Folge $(a_n)_{n \in N}$ heißt monoton fallend, falls für alle $a_n \in N$ gilt, dass $a_n \geqq a_{n+1}$. Sie heißt streng monoton fallend, falls für alle $n \in N$ gilt, dass $a_n > a_{n+1}$.
超訳 単調数列
実数列$(a_n)_{n \in N}$はすべての自然数$n \in N$に対して$a_n \leqq a_{n+1}$が成り立つとき単調増加という.すべての自然数 $n \in N$に対して$a_n < a_{n+1}$が成り立つとき強単調増加という.
実数列$(a_n)_{n \in N}$はすべての自然数$n \in N$に対して$a_n \geqq a_{n+1}$が成り立つとき単調減少という.すべての自然数 $n \in N$に対して$a_n > a_{n+1}$が成り立つとき強単調減少という.


Definition 6 ( Teilfolge )
Seien $(a_n)_{n \in N}$ eine beliebige Folge und $\phi : N \to N$ eine streng monoton waschende Abbildung, das heißt, es gelte $\phi(m)>\phi(n)$ für alle $m,n \in N$ mit $m>n$, dann nennen wir die Folge $(a_{\phi(k)})_{k \in N}$ eine Teilfolge von $(a_n)_{n \in N}$. In den meisten Fällen setzen wir $n_k=\phi(k)$ und schreiben $(a_{n_k})_{k \in N}$ statt $(a_{\phi(k)})_{k \in N}$.
超訳 部分数列
$(a_n)_{n \in N}$を任意の数列とし $\phi : N \to N$を強単調増加写像とする,すなわちすべての自然数 $m$, $n$について$\phi(m)>\phi(n)$ならば $m>n$ が成り立つ.このとき,数列$(a_{\phi(k)})_{k \in N}$を数列 $(a_n)_{n \in N}$の部分数列と名付ける.多くの場合 $n_k=\phi(k)$と置き,$(a_{\phi(k)})_{k \in N}$ のかわりに $(a_{n_k})_{k \in N}$と書く.

前回と同じように数式の部分はドイツ語も,日本語も同じである.数学は書かれた言語に詳しくなくとも数式で内容がある程度は分かる.

( Florian Modler, Martin Kreh “ Tutorium Analysis1 und Lineare Algebra 1” Spektrum Akademischer Verlag; 2011.8.19 )

2013/11/15   解析学     228TB 0   228Com 0  

Uneigentlich konvergent


Definition 3 ( Uneigentlich konvergent, bestimmt divergent )
Falls es zu jedem $A \in R$ ein $n_0 \in N$ gibt, sodass gilt $a_n>A$ $\forall n \geqq n_0$, dann sagen
wir die Folge $(a_n)_{n \in N}$ konvergiert uneingentlich ( oder ist bestimmt divergent) gegen Unentlich und schreiben $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}(a_n)= \infty$.
Analog schreiben wir $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}(a_n)= -\infty$, wenn es zu jedem $m \in R$ ein $n_0 \in N$ gibt, sodass gilt $a_n < m$ $\forall n \geqq n_0$.
超訳
すべての実数$A$に対してある自然数$n_0$があり, $n \geqq n_0$ をみたすすべての自然数$n$ に対して$ a_n > A$ であるとき数列$(a_n)_{n \in N}$ は無限大に発散するという.そして$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}(a_n)= \infty$ と書く.
同様に,すべての実数$m$ に対してある自然数$n_0$ があり, $n \geqq n_0$ を満たすすべての自然数$n$に対して$a_n < m$ であるときとき数列$(a_n)_{n \in N}$は負の無限大に発散するという.そして
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}(a_n)= -\infty$と書く.

Definition 4 ( Beschränkheit einer Folge )
Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $S \in R$ gibt mit $a_n \leqq S$ $\forall n \in N$.
Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl $s \in R$ gibt mit $a_n \geqq s$ $\forall n \in N$.
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als nach unten beschränkt ist.
超訳
実数$S$ があり,すべての自然数$n$ に対して$a_n \leqq S$ が成り立つとき,数列 $(a_n)_{n \in N}$ は上に有界という.
実数$s$ があり,すべての自然数$n$ に対して$a_n \geqq s$ が成り立つとき,数列 $(a_n)_{n \in N}$ は下に有界という.
上にも下にも有界であるとき,有界であるという.

2013/11/12   解析学     227TB 0   227Com 0  

数列の極限値の定義をドイツ語で書く


Definition 1 ( Folgenkonvergenz )
Eine Folge $a_n$ heißt konvergent gegen $a$, falls gilt: Für alle $ε>0$ existiert ein $n_0 \in N$ mit der Eigenschaft $| a_n-a |<\varepsilon $ für alle $n \geqq n_0$.   Hierbei bezeichnet $a$ den Grenzwert der Folge.
Mit den schönen Quantoren wird das ganz übersichtlich so geschrieben:
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}(a_n)=a \Leftrightarrow a_n \to a \quad\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_0 \in N \quad \forall n \geqq n_0 \quad |a_n - a|< \varepsilon.
\end{equation} Ist eine Folge nicht konvergent, so nennt man sie divergent.

Definition 2 (Äquivalente Definition zur Folgenkonvergenz )
Eine Folge $(a_n)_{a \in N}$ reeller Zahlen heißt konvergent gegen $a$, wenn es eine Zahl $a \in R$ gibt, für welche die Folge $(|a_n - a|)_{n \in N}$ eine Nullfolge ist, das heißt, für die $|a_n - a | \to 0$ gilt.


数列の極限値について知っていれば,使用した言語に詳しくなくても何となく分かる.記号はドイツ語でも,英語でも,日本語でも同じである.数学が国際的ということでしょうか?

2013/11/09   解析学     226TB 0   226Com 0  

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