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2014年01月の記事一覧

完全帰納法

今回も前回に続き完全帰納法の問題の証明.数学の問題というよりドイツ語とLaTeX数式の書き方の復習.日本語の訳は省略.
Satz2.
Für alle natürlichen Zahlen n gilt
\[ \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2 \]
Beweis.
Induktions-Anfang n=1
\[ \sum_{k=1}^1(2k-1)=1=1^2 \]
Induktions-Schritt $n \rightarrow n+1$
\begin{eqnarray*}
& &\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)\\
&=&\sum_{k=1}^n(2k-1)+(2(n+1)-1)\\
&=&n^2+(2n+1)\\
&=&(n+1)^2 \quad \quad \text{q.e.d.}
\end{eqnarray*}
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2014/01/18   Mathematik     242TB 0   242Com 0  

完全帰納法

数学の内容は高校2年生程度です.数学というより,むしろ独語を学んでいるつもりです.また,ドイツの学生さんがどんな事を学んでいるかにも興味があります.

Satz 1. Für jede natürlichen Zahl n gilt : $1+2+\cdots+n=\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$

Beweis. Wir setzen zur Abkürzung $S(n)=1+2+\cdots+n$ und zeigen die Gleichung $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ durch vollständige Induktion.
Induktion - Anfang $n=1$. Es ist $S(1)=1$ und $\frac{1(1+1)}{2}=1$, also gilt die Formel für $n=1$.
Induktion - Schritt $ n \rightarrow n+1$. Wir nehmen an, dass $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ gilt ( Induktions - Voraussetzung ) und müssen zeigen, dass daraus die Formel $S(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ folgt. Dies sieht man so :
$ S(n+1)=S(n)+(n+1)$
    $=\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)$
    $=\displaystyle{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ $\quad$ q.e.d.

定理1各々の自然数$n$に対して$1+2+\cdots+n=\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$ が成り立つ.
証明 短縮して$S(n)=1+2+\cdots+n$ とおく.完全帰納法により$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$を示す.
第一段階 $n=1$のとき$S(1)=1$ また $\frac{1(1+1)}{2}=1$ それゆえ公式は成立する.
第二段階 $n$ が $n+1$のとき $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}$と仮定し ( 帰納法の前提条件 ) $S(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ が成り立つことを以下に示す.
$ S(n+1)=S(n)+(n+1)$
    $=\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)$
    $=\displaystyle{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ $\quad$ q.e.d.

2014/01/05   Mathematik     241TB 0   241Com 0  

ミュンヒハウゼン男爵の冒険その7



Da ich noch eine ziemliche Strecke davon entfernt war und mir die Last von einer solchen Menge Enten ziemlich beschwerlich fiel, so wollte es mir fast leid tun, ihrer allzu viele eingefangen zu haben.
我輩の屋敷はここから遠くにあり,このように大量のカモの荷物は我輩にとっては骨の折れる事で,あまりにも多く捕まえた事を悔やみたいほどだ.

Da kam mir aber ein seltsamer Vorfall zustatten, der mich anfangs in nicht geringe Verlegenheit setzte.
そのとき,我輩に役に立つ奇妙な出来事が起ったが,当初少なからぬ困った状況になった.

Die Enten waren nämlich noch alle lebendig, fingen, als sie von der ersten Bestürzung sich erholt hatten, gar mächtig an mit den Flügeln zu schlagen und sich mit mir hoch in die Luft zu erhaben.
捕まえたカモのやつらはまだ生きており,最初の驚きから立ち直り,強力に羽ばたき我輩とともに空高く舞い上がったのだ.

Nun wäre bei manchem wohl guter Rat teuer gewesen. Allein ich benutzte diesen Umstand, so gut ich konnte, zu meinem Vorteil und ruderte mich mit meinen Rockschößen nach der Gegend meiner Behausung durch die Luft.
普通の者ならどうして良いか分からなくなるだろう.しかしながら,我輩はこの状況をうまく利用した.すなわち服の裾をこいで我が住居の方向へ空を飛んだのだ.


Als ich nun gerade über meiner Wohnung angelangt war und es darauf ankam, ohne Schaden mich herunterzulassen, so drückte ich einer Ente nach der anderen den Kopf ein, sank dadurch ganz sanft und allmählich gerade durch den Schornstein meines Hauses mitten auf den Küchenherd, auf welchem zum Glück nach kein Feuer angezündet war, zu nicht geringem Schreck und Erstaunen meines Koches.
我輩は目的地の我が住居の上空に達し,無傷で降りるためにカモの首を一羽づつ絞めて滑らかに我家の煙突を通りかまどに降りた.運良く火はついておらなかったが,コックは驚いたようだった.




次回からはまた数学に戻りたいと思います.続きはまたの機会にさせてください.訳の分からない訳で失礼いたしました.

2014/01/03   ドイツ語     240TB 0   240Com 0  

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