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2014年02月の記事一覧

訂正


初項211, 公差2, 項数15の等差数列の和$S$

$S=\displaystyle{\frac{1}{2}} \times15 \times \{2\times15 + (15-1) \times 2 \}$ を

$S=\displaystyle{\frac{1}{2}} \times15 \times \{2\times211 + (15-1) \times 2 \}$に訂正

初項を項数と間違えました.計算は各自で.
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2014/02/13   Mathematik     247TB 0   247Com 0  

二項定理

二項定理これも高校の数学でなじみのある定理です.高校では組み合わせの考え方を用いて定理の説明しますが,帰納法の計算で証明する方法をドイツ語の文献から紹介してみました. 興味のある生徒さんはどうぞ.数学の内容はそれほどではなく, 今回もLaTeXによる数式の書き方とドイツ語の勉強です.

Satz 5 (Binomischer Lehrsatz). Seien $x$, $y$ reelle Zahlen und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt
$ (x+y)^n= \displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k} $
Beweis durch vollständige Induktion nach $n$.
Induktions-Anfung $n=0$. Da $(x+y)^0=1$ ist und
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}x^{n-k}y^k=\binom{0}{0}x^0y^0=1}$.
Induktions-Schritt $\, \, n \rightarrow n+1$.
$ (x+y)^{n+1}=(x+y)^nx+(x+y)^ny$.
Für den erstern Summanden der rechten Seite erhält man unter Benutzung der Induktions-Voraussetzung
$(x+y)^nx=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k}$
    $=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k}.$
Dabei haben wir verwendet, dass $\binom{n}{n+1}=0$. Für die Umformung des zweiten Summanden verwenden wir die offensichtliche Regel
$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}a_{k+1}}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}a_k}$
über die Indexverschiebung bei Summen.
$(x+y)^ny=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^{k+1}}$
$=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k}. $
Addiert man den Summanden $\binom{n}{-1}x^{n+1}y^0=0$, erhält man
$(x+y)^ny=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^{k}}$.
Insgesamt ergibt sich, wenn man noch $\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}$ benetzt.
$(x+y)^{n+1}$
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^{k}}
+\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^{k}} $
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k},$ $\quad q.e.d.$


定理5(二項定理)
$x$, $y$ を実数とするとき$ (x+y)^n= \displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k} $が成り立つ.
証明 $n$ に関する数学的帰納法による.
[1] $n=0$ のとき
$(x+y)^0=1$ と$ \displaystyle{\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}x^{n-k}y^k=\binom{0}{0}x^0y^0=1}$ によって$n=0$ のとき成立する.
[2] $\, \, n \rightarrow n+1$ のとき
$ (x+y)^{n+1}=(x+y)^nx+(x+y)^ny$
この式の右辺の最初の項に帰納法の仮定を使うと
$(x+y)^nx=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k}$
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k}$ を得る.
その際 $\binom{n}{n+1}=0$ を使った.
右辺の和を計算するため,自明な規則$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}a_{k+1}}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1}a_k}$ を使い,2つを加える際に添数を次のようにずらした.
$(x+y)^ny$
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^{k+1}}$
$=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k}. $
さらに, $\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}$ も使い,和に
$\binom{n}{-1}x^{n+1}y^0=0$を加えると
$(x+y)^ny=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^{k}}$.
従って
$(x+y)^{n+1}$
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k}x^{n+1-k}y^{k}}
+\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^{k}} $
$=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k}$   q.e.d.

( 訳はk_kiyosi の恣意的なものです.誤訳, 計算のミス等はご容赦ください )

Literaturhinweise
Otto Forster “ Analysis1 ” Springer Spektrum; 11. Auflage 2012

2014/02/09   Mathematik     245TB 0   245Com 0  

数学的帰納法の応用

授業もようやく数列に入り、近いうちに数学的帰納法の解説をします。学習の進んでいる生徒の皆さんは予習をしておいてください。
Satz 3. Die Anzahl aller möglichen Anordnungen einer $n$-elementigen Menge
{ $A_1, A_2, \dots , A_n $ } ist gleich $n!$.
Beweis durch vollständige Induktion.
Induktions - Anfang $n=1$. Eine einelementige Menge besitzt nur eine Anordnung ihrer Elemente. Andrerseits ist 1! ebenfalls gleich 1.
Induktiona - Schritt $n \rightarrow n+1$. Die möglichen Anordnungen der $(n+1)$ - elementigen Menge
{ $A_1, A_2, \dots , A_{n+1} $ } zerfallen folgendermaßen in $n+1$ Klasse $C_k$, $k=1, \dots , n+1$: Die Anordnungen der Klasse $C_k$ haben das Element $A_k$ an erster Stele, bei beliebiger Anordnung der übrigen $n$ Elemente. Nach Induktions - Voraussezung besteht jede Klasse aus $n!$ Anordnungen. Die Gesamtzahl aller möglichen Anordnungen von { $A_1, A_2, \dots , A_{n+1} $ } ist also gleich $(n+1)n!=(n+1)!$ $\quad$ q.e.d.

定理3
要素の数が$n$ 個の集合の要素の配列は $n!$ 通りである。
証明 帰納法による
[1] $n=1$ のとき
1個の並べ方は1通りしかないから $1!=1$ と同じ、よって成立
[2] $n \rightarrow n+1$ のとき
要素の数が$n+1$ 個の集合の、要素の可能な配列は次のように$n+1$ 個の組$C_k$、$k=C_1, C_2, \dots, S_k$ に分かれる。組$C_k$ は要素$A_k$ を持ち、その際、残りの要素は任意とする。帰納法の仮定によってその配列は $n!$ 通りである。従って要素の配列の総数は
$(n+1)n!=(n+1)!$ である。

2014/02/02   Mathematik     244TB 0   244Com 0  

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