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2014年03月の記事一覧

数とは何かまた何であるべきか? その4

Was sind und was sollen die Zahlen?
4. Satz. Zufolge 3 ist $A \subseteq A $
定理 3から$A \subseteq A$ である.

5. Satz. Ist $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$, so ist $A=B$.
定理 $A \subseteq B$ かつ$B \subseteq A $ なら$A=B$
証明は2,3による.

6. Erklärung. Ein System A heißt echter Teil von S, wenn A Teil von S, aber verschieden von S ist. Nach 5 ist dann S kein Teil von A, d.h. (3) es giebt in S ein Element, welches kein Element von A ist.
説明 体系 A が B の真の部分であるとは,A は S の部分であるが,S と異なっているときをいう.5により,このときは,S は A の部分ではない.すなわち(3)により体系 S のある要素は A の要素ではない.

7. Satz. Ist $A \subseteq B$, und $B \subseteq C $, was auch kurz durch $A \subseteq B \subseteq C $ bezeichnet werden kann, so ist $A \subseteq B$, und zwar ist A gewiß echter Teil von C, wenn A echter Teil von B, oder wenn echter Teil von C ist.
定理 $A \subseteq B$, und $B \subseteq C $ならば,これもまた短く$A \subseteq B \subseteq C $と書ける.それ故 $A \subseteq C$ である.また,A が C の真の部分であるのは,A が B の真の部分のとき,または,B が C の真の部分のときである.
証明は3,6から.


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2014/03/31   Mathematik     257TB 0   257Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? その3

Was sind und was sollen die Zahlen?
3. Erklärung. Ein System A heißt Teil eines Systems S, wenn jedes Elment von A auch Elment von S ist. Da diese Beziehung zwisschen einem System A und einem System S im Folgenden immer wieder zur Sprache kommen wird, so wollen wir dieselbe zur Abkürzung durch das Zeichen A $\subset$ S ausdrücken.
3. 説明 ある体系A が体系Sの部分であるということは,体系A の全ての要素がすべてS の要素になっているときのことである.この二つの体系A と S の関係はこれから繰り返し話題になるので短縮して$ A \subset S$ $ ^1$ と書く.
( 注意1原文では $ A \ni S$ のような記号を用いているが,集合論の記号に書き換えました.)

Das umgekehrte Zeichen S $\supset$ A, wodurch dieslbe Tatsache bezeichnet werden könnte, werde ich der Deutlichkeit und Einfachheit halber gänzlich vermeiden, aber ich werde in $\text{Ermangelung}^2$ eines besseren Wortes bisweilen sagen, dass S Ganzes von A ist, wodurch also ausgedrücht werden soll, dass unter den Elementen von S sich auch alle Elementen von A befinden $^3$.
逆に同じことを表すのに $ S \supset$ A とも書くが,明晰さと単純さを考えてこの記号は全く使わないことにする.言葉が欠けているときには,S は A の全体であると言って,Aの要素はすべてS の要素であるという状態を表すことにする.
( 2. in Ermangelung et $^2$...でet $^2$ が欠けている.3. sich $^4$+状態 befindenで~ の状況にある)

Da ferner jedes Element s eines System S nach 2 selbst als System aufgefasst $^4$ werden kann, so könnten wir auch hierauf die Bezeichnung s $\subset$ S anwenden.
今後は体系S の要素sは2によってこれに基づいて$s \subset S$ という記号も使うことにする.
( 4. et $^4$ als ~ $^4$ auffassen... でet $^4$ を ~ $^4$ と解釈する)

2014/03/29   Mathematik     255TB 0   255Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? その2

Was sind und was sollen die Zahlen?
§1 Systeme von Elementen.
2. Es kommt sehr häufig vor, dass verschiedene Dinge a, b, c$\cdots$ aus irgent einer Veranlassung unter einem gemeinsamen Gesichtspuncte ausgefasst, im Geiste zusammengestellt werden, und man sagt dann, dass sie ein System S bilden; man nennt die Dinge a, b, c$\cdots$ die Elemente des Systems S, sie sind enthalten in S; umgekehrt besteht S aus diesen Elementen. 
異なった事物 a , b , c が同一な観点のもとで何かのきっかけで現れることがしばしば起る.これを一つの体系Sを形作るといい,事物 a, b, c を体系Sの要素と言いこれらはSに含まれ,逆にこれらの要素から体系Sも成り立つ.

Ein solches System S (oder ein Inbegriff, eine Mannigfaltigkeit, eine Gesammtheit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls ein Ding(1); es ist vollständig bestimmt, wenn von jedem Ding bestimmt ist, ob es Element von S ist oder nicht). 
このような体系S(あるいは,総体,多様性,公共性)は,各々の事象がきまっているか,それがSの要素であるかないかが確定しているときに,我々の思考の対象として(1)と同じく事象の一つである.

Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T, und jedes Element von T auch Element von S ist. 
だから,体系Sは体系Tと同じである,Sの各々の要素がまたTの要素であり,Tの要素がまたSの要素であるときに,記号 S=T で表す.

Für die Gleichförmigkeit der Ausdruchksweise ist es vortheilhaft, auch den besonderen Fall zuzulassen, das ein System S aus einem einzigen (aus einem und nur einem) Element a besteht, d.h. dass das Ding a Element von S, aber jedes von a verschiedene Ding kein Element von S ist. 
表現の仕方を同じにするために,ある体系Sが一つの(ただ一つ)の要素 a から成り立つ特別な場合.すなわち,事物 a はSの要素.しかし, a と異なるどの事物もSの要素ではない場合も考えることとする.
( aus et$^3$ bestehen... et$^3$ が成り立つ)

Dagegen wollen wir das leere System, welches gar kein Element enthält, aus gewissen Gründen hier ganz ausschliessen, obwohl es für andere Untersuchung bequem sein kann, ein solches zu erdichten.
これに対して要素を何も持たない空な体系を考えることは,多くの研究では便利なこともあり得るが,確かな理由からここでは考えないことにする.(ここの訳で,ein solches zu erdichten が分かりませんでした)

2014/03/25   Mathematik     253TB 0   253Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? (その1)

以前ブログで紹介した,デデキントの “Was sind und was sollen die Zahlen?” の最初の部分だけ訳しました.なお,訳はk_kiyosiの恣意的なものです.誤訳等はご容赦のほどを. 

§1 Systeme von Elementen.
1.  Im Volgenden verstehe ich unter einem Ding jeden Gegenstand unseres Denkens. Um bequem von den Dingen sprechen zu können, bezeichnet man sie durch Zeichen, z.B. durch Buchstaben, und man erlaubt sich, kurz von dem Ding a oder gar von a zu sprechen, wo man in Wahrheit das durch a bezeichnete Ding, keineswegs den Buchstaben a selbst meint.
§1 要素の体系 
1.以下に述べる,「事物」とはわれわれの思考のそれぞれの主題と解釈する.事物についての話が容易に進むように,これを記号たとえば文字で表し短く事物 a とか,単に a と言うことにする.本当は a によって示される事物という意味であって,決して文字 a 自身のことではない.
(unter $et^3$ $\, et^4$) verstehen ... < $et^3$を$et^4$>と解釈する.

Ein Ding ist vollständig bestimmt durch alles Das, was von ihm ausgesagt oder gedacht werden kann.  Ein Ding a ist dasselbe wie b ( identisch mit b ), und b daseselbe wie a, wenn Alles, was von a gedacht werden kann, auch von b, und wenn Alles, was von b gilt, auch von a gedacht werden kann.  
ひとつの事物はそれについて述べられることまたは考えられることのすべてによって決定される.一つの事物 a が b と同じである(b との同一性)また b は a と同じである,というのは a について考えられることは b について考えられる,また a について考えられることはすべて a についても考えられるという事である.
(ここの最初の文 Ein ...bestimmt durch alles Das, の部分は枠構造外への配置になってる?)

Daß a und b nur Zeichen oder Namen für ein und dasselbe Ding sind, wird durch das Zeichen a=b, und ebenso durch b=a angedeutet.  Ist ausserden b=c, ist also c ebenfalls wie a, ein Zeichen für das mit b bezeichnet Ding, so ist auch a=c.
a と b が同一の事物の記号または名前である,ということを記号 a=b で,同じように記号 b=a をあらわす.そのほかに b=a ならば c は a と同様に b で示された事物の記号であるから a=c でもある.

Ist die obige Übereinstimmung des durch a bezeichneten Dings mit dem durch b bezeichneten Dinge nicht vorhanden, so heissen diese Dinge a,b verschieden, a ist ein anderes Ding wie b, b ein anderes Ding wie a; es giebt ( gibt?) irgend eine Eigenschaft, die dem einen zukommt, dem anderen nicht zukommt.
a によって示された事物と,b によって示された事物が上述の一致が存在しないなら,これらの事物 a, b は a は b と異なる事物,b は a と異なる事物である.これは一つは成り立ち,一つは成り立たない性質があるということである.
(最後の文,意味が取れませんでした)

buch
この髭文字(Fraktur)をまず現代的なテキストに書き換えることから始めた.

2014/03/22   Mathematik     254TB 0   254Com 0  

ラング 続解析入門から 練習問題p83

高校の卒業生にはできると思います.理系に進学する生徒の皆さんは,すぐこれくらいの計算をするようになります.頑張ってください.

1. Find the equation of the tangent plane and normal line to each of the following surfaces at the specific point.
(a) $x^2+y^2+z^2=49$ at $(6,2,3)$
(b) $xy+yz+zx-1=0$ at $(1,1,0)$
solutions:
(a) $\text{grad}\, \, f(x,y,z)=(2x,2y,2z)$
$\text{grad}\, \, f(6,2,3)=(12,4,6)=N$
$(X-P)\cdot N=0$
Tangent plane is
$6x+2y+3z=49$.
Normal line
$X=(6,2,3)+t(12,4,6)$. $ \quad \square$
(b) $\text{grad}\, \, f(x,y,z)=(y+z,z+x,x+y)$
$\text{grad}\, \, f(1,1,0)=(1,1,2)=N$
$(X-P)\cdot N=0$
Tangent plane
$x+y+2z=2$.
Normal line
$X=(1,1,0)+t(1,1,2)$. $ \quad \square$


2. Let $f(x,y,z)=z-\exp x \sin y$, and $P=( \log 3, \displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}, -3)$. Find:
(a) $\text{grad}\, \, f(P)$,
(b) the normal line at $P$ to the level surface for $f$ which passes through $P$,
(c) the tangent plane to this surface at $P$.
Solutions:
(a) Let $f(x,y,z)=z-\exp x \sin y$. Then
$\text{grad} \, \, f(x,y,z)=(-\exp x \sin y, -\exp x \cos y, 1)$,
so that in this case,
$ \text{grad}\, \, f( \log 3, \displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}, -3)=(3,0,1)$. $ \quad \square$
(b) The grad $f(P)$ is perpendicular to every surface passing through $P$ on the surface.
So $X=( \log 3, \displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}, -3)+ t(3,0,1)$ $ \quad \square$
(c) Let $N=(3,0,1)$.
The equation of a plane passing through $P$ and perpendicular to the vector $N$ is
$ X \cdot N=P \cdot N$.
In this case this yields
 $3x+z=3 \log 3 -3$ $ \quad \square$

2014/03/17   解析学     252TB 0   252Com 0  

卒業の前に

卒業の前,君たちがまだ私の生徒であるうちに...

Liebe Schülerinnen und Schüler!
Seid klug. Seid fleißig. Seid geduldig.
Ich danke euch herzlich für eure Freundlichkeit und wünsche euch alles Gute!
Auf Wiedersehen.

親愛なる女子ならびに男子生徒のみなさん!
君たちはいつまでも賢く,勤勉で,忍耐強くあってください.
君たちの私にたいする親切に心より感謝してます.そして全てがうまくいくことを祈っています.
さよなら,また会いましょう.

2014/03/14   雑記     251TB 0   251Com 0  

ラング 続解析入門(合成微分律)から 練習問題p78


4. (a) $P$ を定ベクトルとする.$f$ を微分可能な関数とし,$g(t)=f(tP)$ とおく.$g'(t)$ を求めよ.
解答 合成微分律から
$g'(t)=\displaystyle{\frac{df(tP)}{dt}}=( \text{grad} \, f(tP)) \cdot (tP)'$
= $\text{grad}\, \, f(tP) \cdot P $ $\square$

(b) $f$ を全空間で定義された微分可能な関数とする.$f(tP)=f(tP)$ がすべての数$t$ とすべての点$P$について成り立つと仮定する.そのとき,すべての$P$ に対して$f(P)= \text{grad} \, f(O) \cdot P$ であることを示せ.
解答 
$tf(P)=f(tP)$ の両辺を$t$で微分すると
$f(P)=\text{grad} \, f(tP) \cdot P$
$t=0$ とおくと
$f(P)= \text{grad} \, f(O) \cdot P$  $\square$

5. $f$ を2変数の微分可能な関数とする.ある整数$m \geqq 1$ が存在して
$f(tx,ty)=t^mf(x,y)$
が任意の数$t$ および$x,y$に対して成り立つと仮定する.そのとき,オイラーの関係式
$x \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}}=mf(x,y)$
を示せ.
解答
$f(tx,ty)=t^mf(x,y)$  の両辺を$t$ で微分すると
左辺=$\displaystyle{\frac{d}{dt}}f(tx,ty)=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{ \partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}} $
=$\displaystyle{ x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y} }$
右辺=$\displaystyle{\frac{d}{dt}} (t^m f(x,y))=m t^{m-1} f(x,y)$
$t=1$ とおくと
$x\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y} } = mf(x,y) $ $\square$

2014/03/09   解析学     250TB 0   250Com 0  

記録的大雪

先日の大雪でネットワーク設備が故障しました.屋根から落ちた雪で電話回線が破壊され2月17日から3月3日まで固定電話およびネットワークが使えなくなりました.固定電話が使えない事はそれほど苦ではありませんが,毎日楽しみに訪問していたブログが見られないことは苦痛です.悪い事ばかりでもなく固定電話が使えないため静かに過ごすことができました.呼び出し音がどんなメロデーなのかも忘れてしまったほどです.また,PCに向かっていた時間は0時間,この間家族との会話も増えました.

こちらは埼玉県山間部ですが,これほどの大雪は経験したことがありません.ひと冬に3回30cmの雪が降るとは言われていましたが,98cmの大雪は初めてです.ニュースではビニールハウスの被害が流れていましたが,カーポートや小屋や屋根の庇などに多くの被害がみられました.この後の雪かきも大変な作業です.市内の方々は雪の捨て場がないと話していましたが,雪を捨てるという発想はなかったようです.雪は自然に解けてなくなるものだったから.雪の捨て場所が決まったのはしばらくしてからでした.この大雪で雪国の方々の大変さがすこし理解できたようです.こんなものではないと思いますが.

ネットワークの故障程度ですみました
記録的大雪

高校生の皆さんも大変そうでした
高校生の皆さんも大変そうです

2014/03/03   雑記     249TB 0   249Com 0  

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