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2014年04月の記事一覧

ラング 『 続解析入門 』合成微分律と勾配ベクトル§4問題12から

Sarge Lang " Calculus of several variables"
Exercise 12
Let $f(x,y)=g(r)$, where $r=\sqrt{x^2+y^2}$.Show that
$\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial x^2}} + \displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial y^2}}$=$\displaystyle{\frac{d^2g}{dr^2}}+\displaystyle{\frac{1}{r} \frac{dg}{dr}}$.

Solution.
First
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x }} =g '(r) \displaystyle{\frac{x}{r}}$.Similarly, $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y }} =g '(r) \displaystyle{\frac{y}{r}}$.

Using the rule for the derivative of a product, and a quotient, we get:
$\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial x^2}}$=$(g '(r)) ' \displaystyle{\frac{x}{r}+g '(r)( \frac{x}{r}}) '$
=$g ''(r) \displaystyle{\frac{x}{r} \frac{x}{r}}+ g '(r)\displaystyle{\frac{r-x \displaystyle{\frac{x}{r}}}{r^2}}$.

Replace $x$ by $y$ to get $\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial y^2}}$.
$\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial y^2}}$=$(g '(r)) ' \displaystyle{\frac{y}{r}+g '(r)( \frac{y}{r}}) '$
=$g ''(r) \displaystyle{\frac{y}{r} \frac{y}{r}}+ g '(r)\displaystyle{\frac{r-y \displaystyle{\frac{y}{r}}}{r^2}}$.

It follows:
$\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial x^2}}+\displaystyle{\frac{\partial^2f}{\partial y^2}}$
=$g ''(r) \displaystyle{\frac{x}{r} \frac{x}{r}}+ g '(r)\displaystyle{\frac{r-x \displaystyle{\frac{x}{r}}}{r^2}}+g ''(r) \displaystyle{\frac{y}{r} \frac{y}{r}}+ g '(r)\displaystyle{\frac{r-y \displaystyle{\frac{y}{r}}}{r^2}}$
=$g ''(r)(\displaystyle{\frac{y^2}{r^2}} + \displaystyle{\frac{y^2}{r^2}}) + g '(r)(\displaystyle{\frac{r-x \displaystyle{\frac{x}{r}}}{r^2}} +\displaystyle{\frac{r-y \displaystyle{\frac{y}{r}}}{r^2}}) $
=$g ''(r) +g '(r)( \displaystyle{ \frac{r-\displaystyle{\frac{x^2}{r}} +r- \displaystyle{\frac{y^2}{r}}} {r^2}}) $
=$g ''(r) +g '(r) (\displaystyle{ \frac{2r^2-x^2-y^2}{r^3}} )$
=$g ''(r) + g '(r) ( \displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{r^3}}) $
=$g '' (r)+ \displaystyle{ \frac{g ' (r)}{r}} $
=$\displaystyle{\frac{d^2g}{dr^2}}+\displaystyle{\frac{1}{r} \frac{dg}{dr}}$. $\quad \quad$ $\square$

Reference
Serge Lang ${\it " CALCULUS \; \, OF \; \, SEVERAL \; \, VARIABLES "}$

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2014/04/26   解析学     263TB 0   263Com 0  

ミスをしました

高校2年生の『 数学II 』の問題です.
問題 次の不等式を証明せよ.また,等号が成り立つときを調べよ.
$ a^2-ab+b^2 \geqq 0 $
証明
$a^2-ab+b^2=(a-b)^2+ab \geqq 0$
したがって
$ a^2-ab+b^2 \geqq 0 $ $\quad$ Q. E. D.

$+ab$ は正の数とは限らないから,この証明を誤りと判断した.
ここまでは良かった.
証明は誤りだから
$(a-b)^2+ab \geqq 0$ でこの不等式が成り立たない反例をあげよ.
つまり,$(a-b)^2+ab \geqq 0$ が負となる 数 $a$, $b$ を求めよ.
これが大失敗.不等式は正しいから,そのような数 $a$, $b$ はない.
私は存在しない数を探せと言ったことになる.証明の誤りと命題の真偽は別である.
生徒さん達の困惑した顔が目に浮かぶ.計算ミスや問題が解けないことはよくあるが,こんなミスは初めて.私もそろそろ終わりかな...

正確な式変形は次の式.
$a^2-ab+b^2=(a-\displaystyle{\frac{b}{2})}^2+\displaystyle{\frac{3}{4}}b^2 \geqq 0$
等号については省略.

2014/04/24   高校数学     264TB 0   264Com 0  

多項定理について

教科書の「研究」で二項定理の応用として $(a+b+c)^n$ が載っている.結果だけを紹介して証明を省略してしまったクラスもある.ここで改めて証明を与える.参考書などでは多項定理として書かれている.展開するという機械的な計算のなかに組み合わせの考え方が現れる.柔か頭で考えよう.

定理
$(a+b+c+ \cdots )^n$の展開式の一般項は $\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r! \cdots}}a^pb^qc^r\dots$ である.
ただし,$p+q+r+\cdots=n ; \, \, p, q, r,\cdots \geqq 0$

証明
$(a+b+c+ \cdots )^n$ の展開式の$a^pb^qc^r\cdots$の項は $n$ 個のかっこの中の $p$ 個から $a$ を, $q$ 個から $b$ を, $r$ 個から $c$ を $\cdots$ 取って掛け合わせたものの和であるから,係数は,
$_nC_p \times\, _{n-p}C_q \times \, _{n-p-q}C_r \times \cdots$
$=\displaystyle{\frac{n!}{p!(n-p)!}} \times \displaystyle{\frac{(n-p)!}{q!(n-p-q)!}} \times \displaystyle{\frac{(n-p-q)!}
{r!(n-p-q-r)!} \times \cdots}$
$=\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r!\cdots}} (\quad p+q+r+ \cdots =n)$
したがって一般項は $\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r! \cdots}}a^pb^qc^r\cdots$である. q.e.d.

二項定理はこちらから
http://kiyosihp.web.fc2.com/nikou.pdf

2014/04/17   高校数学     262TB 0   262Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? その7

" Was sind und was sollen die Zahlen? "
今回は,§1の最後の部分です.前回までは写真のようなドイツ文字の活字体を,まずラテン文字の活字体に書き直し,それから訳を書きましたが今回は訳文は省略しました.ドイツ文字は f と s が同じ,また大文字の I と J も同じ,m と w が似ていて,また h と y も似ている.そのため慣れるまでは混乱したり,辞書を引いても探している単語が見つからなかったりします.しかしドイツ文字も慣れれば味わいがあり優雅に感じます.写真は本文の2行目の途中 in $A$ und ... からです.写真が鮮明ではなく見づらいことはご容赦ください.

deu.jpg


17. Erklärung. Ein Ding $g$ heißt gemeinsames Element der Systeme $A$, $B$, $C$..., wenn es in jedem dieser Systeme ( also in $A$ und in $B$ und in $C$...) enthalten ist. Ebenso heißt ein System T ein Gemeinteil von $A$, $B$, $C$..., wenn T Teil von jedem diser Systeme ist, und unter der Gemeinheit der Systeme $A$, $B$, $C$... verstehen wir das vollständig bestimmte System $\mathfrak{G}(A, B, C...)$, welches aus allen gemeinsamen Elementen $g$ von $A$, $B$, $C$... besteht und folglich ebenfalls ein Gemeintheit derselben Systeme ist. Wir lassen auch wieder den Fall zu, dass nur ein einiges System $A$ vorliegt; dann ist $\mathfrak{G}(A)=A$ zu setzen. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass die Systeme $A$, $B$, $C$... gar kein gemeinsames Element, also auch keinen Gemeinteil, keine Gemeinheit besitzen; sie heißen dann Systeme ohne Gemeinteil, und das Zeichen $\mathfrak{G}(A, B, C...)$ ist bedutungslos (vergl. den Schluss von 2). Wir werden es aber fast immer dem Leser überlassen, bei Sätzen über Gemeinheiten die Bedingung ihrer Existenz hinzuzudenken und die richitige Deutung dieser Sätze auch für den Fall der Richt-Existenz zu finden.

18. Satz. Jeder Gemeinteil von $A$, $B$, $C$... ist Teil von $\mathfrak{G}(A, B, C...)$.
Der Beweis folgt aus 17.

19. Satz. Jeder Teil von $\mathfrak{G}(A, B, C...)$ ist Gemeinteil von $A$, $B$, $C$... .
Der Beweis folgt aus 17. 7.

20. Satz. Ist jedes der Systeme $A$, $B$, $C$... Ganzes (3) von einem der Systeme $P$, $Q$..., so ist $\mathfrak{G}(P, Q...)$ $\subset$ $\mathfrak{G}(A, B, C...)$.
Beweis. Denn jedes Element von $\mathfrak{G}(P, Q...)$ ist gemeinsames Element von $P$, $Q$..., also auch gemeinsames Element von $A$, $B$, $C$...$\quad$ w. z. b. w.

2014/04/13   Mathematik     261TB 0   261Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? その6

" Was sind und was sollen die Zahlen? "
13. Satz. Ist $A$ zusammengesetzt aus irgend welchen der Systeme $P$, $Q$..., so ist $A \subset \mathfrak{M}( P, Q...)$.
Beweis. Denn jedes Element von $A$ ist nach 8 Element von einem der Systeme $P$, $Q$..., folglich nach 8 auch Element von $\mathfrak{M} (P, Q...)$, woraus nach 3 der Satzt folgt.
13. 定理.$A$ がいくつかの体系$P$, $Q$..., から構成されたものなら $A \subset \mathfrak{M}( P, Q...)$ である.
証明.というのも8より$A$ のどの要素も,体系$P$, $Q$..., のうちどれかの要素である.したがって 8 により,それは $\mathfrak{M}(P, Q... )$ の要素でもある.これと3 から定理が成り立つ.

14. Satz. Ist jedes der Systeme $A$, $B$, $C$... zusammengesetzt aus irgend welchen der Systeme $P$, $Q$..., so ist $\mathfrak{M}(A, B, C... )$$ \subset$ $\mathfrak{M}(P, Q... )$.
Der Beweis folgt aus 13,10.
14. 定理.体系$A$, $B$, $C$ のどれもが,$P$, $Q$... のいくつかから構成されるなら
$\mathfrak{M}(A, B, C... )$$ \subset$ $\mathfrak{M}(P, Q... )$ である.
証明は 13, 10 から.

15. Satz. Ist jedes der systeme $P$, $Q$... Teil von einem der Systeme $A$, $B$, $C$..., und ist jedes der letzteren zusammengesetzt aus irgend welchen der ersteren, so ist
$\mathfrak{M}(P, Q... )$ = $\mathfrak{M}(A, B, C... )$.
Der Beweis folgt aus 12,14,5.
体系$P$, $Q$ の各々が体系$A$, $B$, $C$ のうち一つの部分であり,また後者の各々が前者のうちのどれかから構成されていれば
$\mathfrak{M}(P, Q... )$ = $\mathfrak{M}(A, B, C... )$ である.
証明は12, 14, 5 から

16. Satz. Ist $A = \mathfrak{M}(P, Q)$, und $B=\mathfrak{M}(Q, R)$, so ist $\mathfrak{M}(A, R)$ = $\mathfrak{M}(P, B)$.
Beweis. Denn nach dem vorhergehenden Satze 15 ist sowohl
$\mathfrak{M}(A, R)$ als $\mathfrak{M}(P, B)$ = $\mathfrak{M}(P, Q, R)$.
16. 定理.
$A = \mathfrak{M}(P, B)$, und $B=\mathfrak{M}(Q, R)$ ならば $\mathfrak{M}(A, R)$ = $\mathfrak{M}(P, B)$である.
証明 前の定理15 によって$\mathfrak{M}(A, R)$ も $\mathfrak{M}(P, B)$ も $\mathfrak{M}(P, Q, R)$ に等しい.

2014/04/11   Mathematik     260TB 0   260Com 0  

数学を三か国語で,一番分かりやすいのは?

今回も " Was sind und was sollen die Zahlen? " からはなれて寄り道をします.

ときどき聞くことですが,「分かりずらい翻訳書を読むより,原書を読むほうが分かりやすい」という話を耳にします.本当にそうなのか比較してみようと思いました.数学の分野で「群」 の定義を独語,英語,日本語の順に書いてみます.原書は van der Waerden " Algebra I " ( 独語 ) からです.細かい分析はできませんが,結局,分かりやすさの順は当たり前ですが,日本語,英語,独語の順でした.英語と独語はどちらも得意ではありませんが,英語のほうが独語より分かりやすく感じるのは,知っている単語の数が英語のほうが独語より少しだけ多いということのようです.「群」は定義ぐらいは知っていましたのでそれほど難しいとは感じませんが,何か未知の概念などを理解しようとすると言語がなんであれ難しく感じます.経験的事実からです.
結論は,数学書( だけではありませんが )というものは私にとってどんな言語でも難しい,ということのようです.

まず独語から.
${\bf Definition}$. Eine nicht leere Menge $\mathfrak{G}$ von Elenenten irgendwelcher Art (z.B. von Zahlen, von Abbildungen, von Transformationen) heißt eine ${ \it Gruppe}$, wenn folgende vier Bedingungen erfüllt sind :
1. Es ist eine ${\it Zusammensetzungsvorschrift}$ gegeben, welche jedem Elementepaar $a$, $b$ von $\mathfrak{G}$ ein drittes Element derselben Menge zuordnet, welches meistens das ${\it Produkt}$ von $a$ und $b$ genannt und mit $ab$ order $a \cdot b$ bezeichnet wird. (Das Produkt kann von der Reihenfolge der Fraktoren abhängen : es braucht nicht $ab=ba$ zu sein.)
2. Das ${\it Assoziativgesetz}$. Für je drei Elemente $a, b, c$ von $\mathfrak{G}$ gilt:
$ab \cdot c=a \cdot bc$
3. Es ist ein (linksseitiges) ${\it Einselement \, \, \, e}$ in $\mathfrak{G}$ ausgezeichnet mit der Eigenschaft:
$ea=a$  für alle $a$ von $\mathfrak{G}$.
4. Zu jedem $a$ von $\mathfrak{G}$ existiert (mindestens) ein (linksseitiges) ${\it Inverses\, \, a^{-1}}$ in $\mathfrak{G}$, mit der Eigenschaft
$a^{-1}a=e$.
Eine Gruppe heißt ${\it abelsch}$, wenn außerdem stets $ab=ba$ ist (${\it kommutatives \, \, \, Gesetz}$).

次に英語訳です.
${\bf Definition}$: A nonempty set $\mathfrak{G}$ of any sort of elements (such as numbers, mappings, transformations) is said to be a ${\it group}$ if the following four postulates are fulfilled.
1. A ${\it rule \, \, of \, \, combination}$ is given which associates with every pair of elements $a$, $b$ of $\mathfrak{G}$ a third element of the same set, which most frequently is called a ${\it product}$ of $a$ and $b$ and which is denoted by $ab$ or $a \cdot b$ (the product may depend on the order in which the factors are arrenged; $ab$ may or may not be equal to $ba$).
2. The associative law: If $a$, $b$, $c$ are any elements of $\mathfrak{G}$, then
$ab \cdot c=a \cdot bc$.
3. There exists (at least) one element $e$ in $\mathfrak{G}$, called the (left) ${\it identity}$, so that
$ea=a$
for every element $a$ of $\mathfrak{G}$.
4. If $a$ is an element of $\mathfrak{G}$, there exists (at least) one element $a^{-1}$ in $\mathfrak{G}$, called the (left) ${\it inverse}$ of $a$, so that
$a^{-1}a=e$.
A group is called ${\it Abellian}$ if $ab$ is always equal to be $ba$ (${\it commutative \, \, law}$).

最後は日本語訳です.
${\bf 定義}$ なにかある要素(たとえば,数,写像,変換など)の,空でない集合 G があって,つぎに述べる4つの条件をみたすものとする.このとき G を${\bf 群}$という.
1.G の任意の2つの要素 $a$, $b$ に対して,同じ集合内の第3の要素を対応させる${\bf 結合関係}$が与えられている.この $a$, $b$ に対応する要素のことを,$a$ と $b$ の${\bf 積}$とよび,ふつう, $ab$ あるいは $a \cdot b$ と書く.(この積は,因数の順序によって異なるかもしれない.すなわち $ab=ba$ が成り立たないこともある.)
2.${\bf 結合法則}$ G の任意の3つの要素 $a$, $b$, $c$ について
$ab \cdot c=a \cdot bc$
が成り立つ.
3.G のすべての要素 $a$ に対して,
$ea=a$
を満足させる(左)${\bf 単位要素}$ $e$ が,(少なくとも1つ)G 内に存在する.
4.G の各要素に対して,
$a^{-1}a=e$
という性質をもつ(左)${\bf 逆要素}$ $a^{-1}$ が(少なくとも1つ)G 内に存在する.
さらに $ab=ba$ (${\bf 交換法則}$) が成り立つとき,G はとくに${\bf アーベル群}$(または${\bf 可換群}$)と呼ばれる.

2014/04/08   Mathematik     259TB 0   259Com 0  

数とは何かまた何であるべきか? その5

Was sind und was sollen die Zahlen?
8. Erklärung. Unter dem aus irgend welchen Systemen A, B, C... zusammengesetzten System, welches mit $ \mathfrak{M}$(A, B, C...) bezeichnet werden soll, wird dasjenige System verstsnden, dessen Elemente durch folgende Vorschrift bestimmt werden: ein Ding gilt$^1$ dann und nur dann als Element von $\mathfrak{M}$(A, B, C...), wenn es Element von irgent einem der Systeme A, B, C..., d.h. Element von A oder B oder C ...ist. Wir lassen auch den Fall zu, dass nur ein einiges System A vorliegt; dann ist offenbar $\mathfrak{M}$(A)=A. Wir bemerken ferner, dass das aus A, B, C ... zusammengesetzte System $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) wohl zu unterscheiden ist von demjenigen System, dessen Elemnte die Systeme A, B, C ... selbst sind.
8. 説明 体系 A, B, C から構成される体系とは,$\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) で表されるが,要素が次の規則によって確定される体系のことである.事物が $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) の要素となるのは,それが体系 A, B, C のどれかになるときかつそのときにかぎる場合である.すなわち体系 A の要素か, B の要素か,C の要素になるときである.たった一つの体系 A だけの場合も考えることにする.この場合は明らかに$\mathfrak{M}$( A ) =A である.
今後はA, B, C... から構成された体系 $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) はA, B, C... 自身を要素とする体系とは区別しなければいけないことを注意しておきたい.
( 注1 als 〜gelten, 〜と見なされる )

9. Satz. Die Syateme A, B, C... sind Teile von $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ).
Der Beweis folgt aus 8, 3.
9. 定理.体系 A, B, C は $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) の部分である.
証明は8, 3 に従う.

10. Satz. Sind A, B, C... Teile eines Systeme S, so ist $\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) $\subset S $ .
Der Beweis folgt aus 8, 3.
10. 定理 A, B, C... が体系 S の部分なら$\mathfrak{M}$( A, B, C ... ) $\subset S $ も成り立つ.
証明は8, 3 に従う.

11. Satz. Ist P Teil von einem der Systeme A, B, C..., so ist $P \subset \mathfrak{M}$( A, B, C ... ) .
Der Beweis folgt aus 9, 7.
11. 定理 体系 P が体系 A, B, C...の一つの部分なら,$P \subset \mathfrak{M}$( A, B, C ... ) である.
証明は9, 7 に従う. 

2014/04/06   Mathematik     258TB 0   258Com 0  

ラング 続解析入門から 練習問題 p87

『ラング続解析入門』から練習問題を解きます.("Calculus of several variables" second edition. P88, 89)
Exercises
1. Let $f(x,y,z)=z-e^x \sin y $, and $P=( \log 3, 3 \pi/2, -3)$. Find:
(a) the directional derivative of $f$ at $P$ in the direction of $(1,2,2),$
(b) the maximum and minimum value for the directional derivative of $f$ at $P$.

Solutions.
(a) Let $B=(1,2,2)$. We note that B is not a unit vector. It norm is 3. Let A=$\displaystyle{\frac{1}{3}}B$. Then A is a unit vector having the same direction as B.
Since $f(x,y,z)=z-e^x \sin y$.
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=-e^x \sin y$,
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=-e^x \cos y$,
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}=1$
$\text{grad} f = (-e^x \sin y, -e^x \cos y, 1)$
Therefore
$\text{grad} f (P) = (-e^{\log 3} \sin \frac{3 \pi}{2}, -e^{\log 3} \cos \frac{3 \pi}{2}, 1)$
    $= ( 3,0,1)$
The directional derivative is equal to $\text{grad} f (P) \cdot A = \displaystyle{ \frac{1}{3}}( 3 \times 1+0 \times 2+1\times 2)=\displaystyle{\frac{5}{3}}$ $\quad \square$

(b) As $\left\|\text{grad} f(P)\right\|= \sqrt{3^2+0^2+1^2}=\sqrt{10}$
The maximum value is $\sqrt{10}$.
The minimum value is $-\sqrt{10}$.$\quad \square$

8. Suppose the temperature in $( x, y, z )$-space is given by
$f( x, y, z )=x^2y+yz-e^{xy}$.
Compute the rate of change of temperature at the point $( 1, 1, 1 )$ in the direction pointing toward the origin.

Solution.
The direction toward the origin at the point $( 1, 1, 1 )$ is $( -1, -1, -1 )$. Its norm is $\sqrt{3}$.
Let A=$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}( -1, -1, -1 )$. Then A is a unit vector having to the direction toward
origin.
Since $f( x, y, z )=x^2y+yz-e^{xy}$, it follows that
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}=2yx-ye^{xy}$,
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}=x^2+z-xe^{xy}$,
$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}=y$.
Therefore
$\text{grad} f = (2yx-ye^{xy}, x^2+z-xe^{xy}, y)$.
By substituting $x=1$, $\, y=1$, $z=1$
$\text{grad} f(P)= ( 2-e, 2-e, 1)$.
The rate of change of temperature is equal to
$\text{grad} f (P) \cdot A $
$= \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}}}( (2-e) \times (-1)+(2-e) \times (-1)+1\times (-1))$
=$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}(2e-5)}$ $\quad \square$.

2014/04/03   解析学     256TB 0   256Com 0  

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