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2014年06月の記事一覧

数学で使う英語表現 その2

数学で使う英語表現を原書から集めてみました.
(a) let の使い方
Let $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$ be two nonzero vectors in 2-space or 3-space, 
Let $\boldsymbol{u}= < u_1, \, u_2, \, u_3>$ and $\boldsymbol{v}= < v_1,\, v_2,\, v_3>$; then
上の文ではbe 動詞が使われているが,下の式では使われていない.何故なのか分かりません.

(b) $x$ を$y$ で置き換えて
Replace $x$ by $y$ to get $\displaystyle{\frac{\partial\, ^2f}{\partial y^2}}$

(c) raise 累乗する
2 raised to the 10th power is 1024.
2 raised to the power of 10 is 1024.
$x^{10} \equiv 1$
Raising both side to the tenth power gives $x^{100} \equiv 1.$

(d) 任意の,与えられた.極限値の定義
We shall say that $f(x)$ approaches the limmit L as $x$ approaches $x_0$ if the following condition is satisfied.
Given a number $\varepsilon > 0,$ there exsists a number $\delta > 0$ such that for all $x$ in $S$ satisfying \[ | x-x_0| < \delta \] we have \[ |f(x)-L| < \varepsilon. \]
(e) 消去,分子,分母を約分して
\begin{align}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \frac{x^n+nx^{n-1}h+h^2g(x+h)-x^n}{h} \\
&= \frac{nx^{n-1}h+h^2g(x+h)}{h} \quad (\text{because}\, \, \, x^n \text{cancels}) \\
&= nx^{n-1}+hg(x+h) \quad \quad (\text{divide numerator and denominator by} \, \, h)
\end{align}
注)numerator 分子  denominator 分母 cancel 約分する 
なお,分数の読み方は分子,分母の順のようです.LaTeX でも分数の書き方は \frac{分子}{分母} と分子,分母の順になっています.

文献
[1]Serge Lang,  $\it{\, \, CALCULUS \, \, \, OF \, \, SEVERAL \, \, \, VARIABLES }\, \, \, $  ADDISON-WESLEY $\, \, \, $Second Edition 1979
[2]Serge Lang,  $\it{Linear \, \, Algebra}\, \, $ ADDISON-WESLEY $\, \, \, $ Second Edition 1983
[3]Howard Anton,  $\it{MULTIVARIABLE\, \, \, CALCULUS } \, \, \, $ WILEY 4th Edition 1992
[4]Joseph H. Silverman, $\it{A \, \, \, Friendly \, \, \, Introduction \, \, \, to \, \, \, NUMBER \, \, \, THEORY}\, \, \, $ Prentice Hall $\, \, \, $ Second Edition 2001

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2014/06/29   Mathematik     281TB 0   281Com 0  

数学で使う英語表現 その1

数学で使う英語表現を原書から集めてみた.
(a) Find parametric equations for the line through $P_1$ and $P_2$.  
(1) $P_1(3,\, -2)$, $P_2(5,1)$ 以下略
$P_1$, $P_2$ を通る直線の媒介変数方程式をもとめよ.
(1) $P_1(3,\, -2)$, $P_2(5,1)$

(b) $a-b=1$, $a+2b=0$. Solving for $a$ and $b$ in the usual manner yields $\displaystyle{b=-\frac{1}{3}}$ and $ \displaystyle{a= \frac{2}{3}}$.
この連立方程式を普通の方法で解いてみると,$\displaystyle{b=-\frac{1}{3}}$ ,$ \displaystyle{a= \frac{2}{3}}$となる.

(c) $a-3b=0$, $a+2b=0$.
This is a system of two equations which we solve for $a$ and $b$. Subtracting the second from the first, we get $-5b=0$, whence $b=0$. Substituting in either equation, we find $a=0$.
この連立方程式を $a$, $b$ について解く.第2式を第1式から引くと $-5b=0$, したがって $b=0$. これをどちらかの式に代入すると $a=0$ が求まる.

(d) It suffices to prove that the function $f(c(t))$ is constant ( as function of $t$ ).
関数 $f(c(t))$ が定数であることを証明すれば十分である.

(e) Similarly, $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}=(\cos r)\frac{y}{r}}$
同様に $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}=(\cos r)\frac{y}{r}}$

(f) We shall prove:
$|| A+B||=||A-B||$ if and only if $A \cdot B=0$
$|| A+B||=||A-B||$ であるための必要十分条件は $A \cdot B=0$ であることを証明しよう.
必要十分条件は necessary and sufficient condition

文献
[1]Serge Lang,  $\it{\, \, CALCULUS \, \, OF \, \, SEVERAL \, \, VARIABLES }\, \, \, $  ADDISON-WESLEY $\, \, \, $Second Edition 1979
[2]Serge Lang,  $\it{Linear Algebra}\, \, $ ADDISON-WESLEY $\, \, \, $ Second Edition 1983
[3]Howard Anton,  $\it{MULTIVARIABLE\, \, CALCULUS } \, \, $ WILEY 4th Edition 1992


2014/06/25   Mathematik     280TB 0   280Com 0  

群の定義:B. L. van der Waerden から

Definition von Gruppe.
Eine nicht leere Menge $\mathfrak{G}$ von Elementen irgendwelcher Art (z.B. von Zahlen, von Abbildungen, von Transformationen) heißt eine $\it{Gruppe}$, wenn folgende vier Bedingungen erfüllt sind:

1. Es ist eine $\it{Zusammensetzungsvorschrift}$ gegeben, welche jedem Elementepaar $a$, $b$ von $\mathfrak{G}$ ein drittes Element derselben Menge zuordnet, welches meistens das $\it{Produkt}$ von $a$ und $b$ genannt und mit $ab$ oder $a \cdot b$ bezeichnet wird. (Das Produkt kann von der Reihenfolge der Faktoren abhängen: es braucht nicht $ab=ba$ zu sein.)

2. Das $\it{Assoziativgesetz}$. Für je drei Elemente $a,\, b,\, c$ von $\mathfrak{G}$ gilt: \[ ab \cdot c=a \cdot bc\]
3. Es ist ein (linksseitiges) $\it{Einselement}$ $e$ in $\mathfrak{G}$ ausgezeichinet mit der Eigenschaft: \[ ea=a \quad \, \, \text{für alle} \, \, a \, \, \text{von} \, \, \mathfrak{G} \]
4. Zu jedem $a$ von $\mathfrak{G}$ existiert (mindestens) ein (linksseitiges) $\it{Inverses}$ $a^{-1}$ in $\mathfrak{G}$, mit der Eigenschaft \[ a^{-1}a=e. \]
Eine Gruppe heißt $\it{abelsch}$, wenn außerdem stets $ab=ba$ ist ($\it{kommutatives Gesetz}$).

文献[2] によると
2.結合法則の成立 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)$ 「つなぐことができる」
3.単位元の存在  $ ea=a $       「変えないことができる」
4.逆元の存在   $ a^{-1}a=e$      「もとにもどすことができる」
と説明している.このように説明されると親しみやすい.

文献
[1]B. L. van der Waerden, $\it{\, \, Algebra \, \, I }\, \, \, $ Springer Verlag $\, \, \, $Neunte Auflage 1993
[2]小島寛之,『天才ガロアの発想力』 技術評論社 初版 2010


2014/06/17   代数系     279TB 0   279Com 0  

ラング 続解析入門P84から

Exercise
3.Find the parametric equation of the tangent line to the curve of intersection of the following surfaces at the indicated point.
(a) $\quad \begin{equation}x^2+y^2+z^2=49, \quad \text{and} \quad x^2+y^2=13 \quad \, \, \text{at the point } \, \, \, P= (3,\, 2,\, -6)\end{equation}$
(b) $\quad \begin{equation}xy+z=0, \quad \text{and} \quad x^2+y^2+z^2=9 \quad \, \, \text{at the point} \, \, \, P= (2,\, 1,\, -2)\end{equation}$

Solution (a).
Let \[ f(x,\, y,\, z)=x^2+y^2+z^2, \quad \text{and} \quad g(x,\, y,\, z)=x^2+y^2. \] Then the first surface is defind by the equation $f(x,\, y,\, z)=49.$ A vector $N_1$ perpendicular to the first surface at $P$ is given by \[ N_1= \text{grad}\, \, f(P), \quad \text{where} \quad \text{grad} \, \, f(x,\, y,\, z)=(2x,\, 2y,\, 2z). \] Thus for $P=(3,\, 2,\, -6)$ we find \[ N_1=(6,\, 4,\, -12). \]
Similarly
\[ N_2= \text{grad}\, \, g(P), \quad \text{where} \quad \text{grad} \, \, g(x,\, y,\, z)=(2x,\, 2y,\, 0). \] Thus for $P=(3,\, 2,\, -6)$ we find \[ N_2=(6,\, 4,\, 0) \]
A vector $A=(a,\, b,\, c)$ in the direction of the line of intersection is perpendicular to both $N_1$, and $N_2$. To find $A$, we therefore have to solve the equations
\[ \begin{equation} A \cdot N_1=0 \quad \quad A \cdot N_2 =0 \end{equation}. \] This amounts to
\[ \begin{eqnarray*} \, 6a+4b -12c&=& 0\\ 6a+4b \quad \quad \, \, \, \, \, &=& 0 \end{eqnarray*} \] Let for instance $a=2$. Solving for $b$ and $c$ yields
\[ a=2, \quad b=-3, \quad c=0. \] Thus $A=(2,\, -3,\, 0).$ Finally, the parametric representation of the desired line is \[ P+tA=(3,\, 2,\, -6)+t(2,\, -3,\, 0). \quad \quad \square\]

Solution (b).
Similarly
\[ P+tA=(2,\, 1,\, -2)+t(-5,\, 4,\, -3). \]

2014/06/15   解析学     278TB 0   278Com 0  

Kalndergeschichten (Schlechter Lohn)

お断り:訳文は正確なものではありません.日本語としても熟れていません.悪しからず.

Schlechter Lohn ひどい報酬
Als im letzten preußischen Krieg der Franzos nach Berlin kam, in die Residenzstadt des Königs von Preußen, da wurde unter anderem viel königsliches Eigentum weggenommen und fortgeführt oder verkauft.
前回のプロイセン戦争で,フランス軍がプロイセン王国の首都ベルリンに来たとき,王国の所有物が奪われ,運び出されたかあるいは売却された.

Denn der krieg bringt nichts, er holt. Was noch so gut verborgen war, wurde entdeckt und manches davon zur Beute gemacht, doch nicht alles. Ein großer Vorrat von königlichem Bauholz blieb lange unverraten und unversehrt.
戦争は何ももたらさず,持ち去るものなのだ.巧妙に隠されていた物も,発見され略奪の餌食となったが,すべてがそうではなかった.王国の備蓄された材木は,長い間明るみに出ることもなく無傷のまま残った.

Doch kam zuletzt noch ein Spitzbube von des königs eigenen Untertanen, dachte: Da ist ein gutes Trinkgelt zu verdienen, und zeigte dem französischen Kommandanten mit schmunzlicher Mieme und spitzbübischen Augen an, was für ein schönes Quantum von eichenen und tannenen Baustämmen noch da und da beisammen liege, woraus manch tausend Gulden zu lösen wäre.
だがとうとう国王の臣下の一人のならず者が,これはいい金儲けになると当て込んで,フランス軍の司令官のところにやって来ると,にやけた顔付の表情といたずらっぽい目付きで,多くの樫や樅の建築用材木があちこちにあって,それが何千ギルダーのお金になると教えたのだ.

Aber der brave Kommandant gab schlechten Dank für die Verräterei und sagte: »Lasst Ihr die schönen Baustämme nur liegen, wo sie sind. Man muss dem Feind nicht sein Notwedigstes nehmen. Denn wenn Euer König wider ins Land kommt, so braucht er Holz zu neuen Galgen für so ehrliche Untertanen, wie Ihr seiner seid.«
しかし,そのりっぱな司令官はひどい報酬をその裏切り者に与えて言った,そのすばらしい材木はあるがままに残しておく,敵にとって必要不可欠なものは奪ってはならない.というのもお前達の王が帰って来たとき,新しい絞首台のためにその材木を必要とするだろう,と.
注) wie Ihr seiner seid の意味は分かりません.

Das muss der Rheinländische Hausfreund loben und wollte gern aus seinem eigenen Wald ein paar Stämmlein auch hergeben, wenn's fehlen sollte.
ライン地方の「家族ぐるみの友人」はこれを褒めたたえずにはいられず,自分たちの森からも材木を提供するだろう.もし不足するようなら.
注)Hausfreund の意味は分かりません.

2014/06/11   ドイツ語     277TB 0   277Com 0  

Kalendergeschichten ( Der Rekurt )

Der Rekurt
Ein Rekurt, dem schon in den ersten 14 Tagen das Schildwachestehen langweilig vorkam, betrachtete einmal das Schilderhaus unten und oben und hinten und vornen, wie ein Förster, wenn er einen Baum schätzt, order ein Metzger ein Häuptlein Vieh. Endlich sagte er: »Ich möchte nur wissen, was sie an dem einfältigen Kasten finden, dass den ganzen Tag einer dasthen und ihn hüten muss.« Denn er meinte, er stehe da wegen dem Schilderhaus, nicht Schilderhaus wegen ihm.

訳 (訳文は正確なものではありません)
かつて一人の新兵が,すでに最初の14日間,彼にはたいくつと思われる歩哨勤務に立ち,歩哨小屋を下に,上に,後ろに,前に観察していた.まるで,林務官が一本の木を見積もるように,あるいは食肉業者が家畜の頭数でも数えるように.とうとう彼は「自分はただ彼らが,一日中そこに立っていて,自分が見張りをしなければならない簡単な小屋で何を見つけようとしているのか,を知りたいだけだ」と言った.というのは,彼が歩哨小屋を見張っているのではなく,歩哨小屋が彼を見張っているのだ,と思ったからだ.
( Kalendergeschichten " Der Rekurt" より)


2014/06/08   ドイツ語     276TB 0   276Com 0  

組み合せの記号について

高校の数学で組み合わせの記号に
$_xC\, _k=\displaystyle{\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k\, !} }$
が使われているが,次の記号は使われていない.
$\begin{pmatrix}x\\k\end{pmatrix}=$ $\displaystyle{\prod_{j=1}^{k}\frac{x-j+1}{j}}=\frac{x}{1}\times\frac{x-1}{2} \times \cdots \times \frac{x-k+1}{k}=\displaystyle{\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k\, !} }$
$\sum$ と同様に $\prod$ を使用するのもいいと思います.

また,ドイツ語の数学書で次のような記号もみかけました.
$x^{[n]}=\displaystyle{\prod_{j=1}^{n}(x-j+1)}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$
この記号を使うと.上記の式は次のようになります.
$_xC_{\, n}=\begin{pmatrix}x\\n\end{pmatrix}=\displaystyle{\frac{x^{[n]}}{n!}}=\displaystyle{\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}{n\, !} }$
数学の記号はどれも一長一短があります.自分が慣れている記号を使うのが一番いいのかもしれませんね.関連する練習問題をあげておきます.証明には数学的帰納法を使うようです.

Aufgabe 1A.
Seien $n$, $k$ natürliche Zahlen mit $n \geqq k$. Man beweise
$\begin{pmatrix}n+1\\k+1 \end{pmatrix} =\displaystyle{\sum_{m=k}^{n} }\begin{pmatrix} m\\ k\end{pmatrix}$.

Aufgabe 1C.
Man beweise für alle reellen Zahlen $x$, $y$ und alle $n \in \mathbb{N}$
$\begin{pmatrix}x+y \\ n \end{pmatrix}=\displaystyle{ \sum_{k=0}^n }\begin{pmatrix}x \\ n-k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y \\ k \end{pmatrix}$



Literaturverzeichnis
[1]Otto Forster : Analysis 1. Springer Spektram, 11. Aufl. 2013
[2]Otto Forster : Übungsbuch zur Analysis 1. Springer Spektram, 6. Aufl. 2013

2014/06/04   高校数学     275TB 0   275Com 0  

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