雅楽多文書館

2014年09月の記事一覧

ベクトル 平面図形への応用 (プリント)NO1

問題は自習のときの課題です.計算の誤りなどがありましたら,後ほどそっと知らせてください.修学旅行から帰ったらしっかり勉強しましょう.残りの問題は次回に解答します.

1 △ABC において.辺AC,BC の中点をそれぞれ M, N とし,線分 BM を2:1に内分する点を D とする.
$\overrightarrow{AB }= \overrightarrow a$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow b$ とするとき次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{AD}$ を $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ を用いて洗わせ.
(2) 3点A, D, N は一直線上にあることを示せ.

解答
(1) N は線分 BC の中点だから
$\overrightarrow{AN} = \displaystyle{\frac{1}{2}}(\overrightarrow a + \overrightarrow b)$
D は線分 BM を2:1に内分するから
$\overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle{\frac{\overrightarrow a +2\times \frac{1}{2}\overrightarrow b}{2+1}}$ = $\displaystyle{\frac{\overrightarrow a + \overrightarrow b}{3}}$

(2) (1) より $2\overrightarrow{AN}$=$3\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{AN}$=$\displaystyle{\frac{3}{2}}\overrightarrow{AD}$
したがって3点 A, D, N は一直線上にある.$\quad \square$


2 平行四辺形 ABCD において,辺 BC を3:1 に内分する点を E, 辺 CD を1:4 に外分する点をF とする.
$\overrightarrow{AB }= \overrightarrow a$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow b$ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{AE }$ , $\overrightarrow{AF }$ を $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ を用いて表せ.
(2) 3点 A, E, F は一直線上にあることを示せ.

解答
(1)
$\overrightarrow{AC }$ = $\overrightarrow a + \overrightarrow b$
E は線分BC を3:1に内分するから
$\overrightarrow{AE}$ = $\displaystyle{\frac{\overrightarrow a+3(\overrightarrow a+\overrightarrow b)}{3 +1} }$ = $ \displaystyle{\frac{4\overrightarrow a+3\overrightarrow b}{4} }$

F は線分 CD を1:4に外分するから
$\overrightarrow{AF}$= $\displaystyle{\frac{-4(\overrightarrow a+\overrightarrow b)+ \overrightarrow b}{1-4} }$ = $\displaystyle{\frac{-4\overrightarrow a-3\overrightarrow b}{-3} }$ = $\displaystyle{\frac{4\overrightarrow a+3\overrightarrow b}{3} }$

(2) (1) から $4\overrightarrow{AE}$ = $3\overrightarrow{AF}$ よって $\overrightarrow{AE}$ = $\displaystyle{\frac{3}{4}}\overrightarrow{AF}$
したがって 3点 A, E, F は一直線上にある.$\quad \square$


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2014/09/30   高校数学     300TB 0   300Com 0  

2点を通る直線

教科書の補足説明.何人かの生徒諸君が疑問に感じていたようなのであらためて解説します.

2点A($\overrightarrow a$),B($\overrightarrow b$)を通る直線$g$のベクトル方程式について考える.
イメージの図      A   B  P  
  
問題 直線$g$上の点P($\overrightarrow p$)は$\overrightarrow p=(1-t)\overrightarrow a+t\overrightarrow b$である.このとき点$P$の位置を実数$t$の値によって分類する.

解説
\begin{align*}
\overrightarrow p &= \overrightarrow a +t(\overrightarrow{AB}) \quad \quad \, \, \, \, \cdots ① \\
&= \overrightarrow a +t(\overrightarrow b - \overrightarrow a) \quad \cdots ②\\
&= (1-t)\overrightarrow a +t\overrightarrow b \quad \cdots ③
\end{align*}
何人かの生徒さんは上の③式を使って考えていましたが,分かりやすいのは①式を使うことです.
(ア)$1< t $ のとき $|\overrightarrow{AB}|$ < $t|\overrightarrow{AB}|$ ,したがって点Pの位置はBより右にある.
(イ)$ 0 \leqq t \leqq 1$のときは $0 \leqq t|\overrightarrow{AB}| \leqq |\overrightarrow{AB}|$, したがって点Pの位置は点Aと点Bの間にある.
(ウ)$t<0$ のとき $t|\overrightarrow{AB}| < 0$, したがって点Pの位置はAより左にある.


コメント 
位置ベクトルを考えるときは,何処かに必ず定点Oを取って考えること.③式$\overrightarrow p=(1-t)\overrightarrow a+t\overrightarrow b$の幾何学的意味は①式$\overrightarrow p=\overrightarrow a +t(\overrightarrow{AB})$ を考えれば明らかです.すなわち定点Oから$\overrightarrow a$に沿って点Aに進み,点Aから線分ABの方向にABの$t$倍進むと点Pに行き着く,ということです.③式は次の応用問題などを解くときに大切ですが,①式のようなアイデアが分かるような式からしっかりと理解すること.教科書は$\overrightarrow p=(1-t)\overrightarrow a+t\overrightarrow b$の式で上の問題を説明している,分かりにくいのは当たり前です.

2014/09/19   高校数学     291TB 0   291Com 0  

奇妙なロバの旅(Kalendergeschichten より)

今回も気分転換にカレンダーゲシヒテン(暦話)とよばれるドイツの小話を訳してみました.数学から逃避してます.生徒の皆さんはカテゴリーの高校数学を,過去の質問等はリンクのホームページ_高校数学を参考にしてください.

Seltsamer Spazierritt 奇妙なロバの旅
Ein Mann reitet auf seinem Esel nach Haus und lässt seinen Buben zu Fuß nebenher laufen. Kommt ein Wanderer und sagt: »Das ist nicht recht, Vater, dass Ihr reitet, und lasst Euern Sohn laufen; Ihr habt stärkere Glieder.«
一人の男が,その男のロバに乗り息子を並んで歩かせて,家に帰るところだった.そこへ一人の旅人がやって来て言った.「親父さん,あんたの子供を歩かせてあんたがロバに乗っているのは間違っている.あんたには丈夫な足がある」


Da stieg der Vater vom Esel herab und ließ den Sohn reiten. Kommt wieder ein Wandersmann und sagt: »Das ist nicht recht, Bursche, dass du reitest und lässerst deinen Vater zu fuß gehen. Du hast jüngere Beine.« Da saßen beide auf und ritten eine Strecke.
そこで親父はロバを降りかわりに息子を乗せた.そこへ二人目の旅人がやって来て言った.「少年よ,お前がロバに乗り,親父さんを歩かせるのは正しくはないよ.お前には若々しい足がある」そこで二人ともロバに乗りしばらく進んだ.


Kommt ein dritter Wandersmann und sagt: »Was ist das für ein Unverstand, zwei Kerle auf einem schwachen Tiere? Sollte man nicht einen Stock nehmen und euch beide hinabjagen?« Da steigen beide ab und gingen selbdritt zu Fuß, rechts und links der Vater und Sohn, und in Mitte der Esel.
そこへ三人目の旅人がやって来てこう言った.「これはなんと無分別なことだ.二人の男が一頭のか弱い動物に乗るなんて,人のやることではない,棒切れを持って来て二人とも追い払ってやろうか」そこで二人はロバを降りてみんなで同じように歩いた.右に親父が,左に息子が,真ん中にロバがというように.


Kommt ein vierter Wandersmann und sagt: »Ihr seid drei kuriose Gesellen. Ist's nicht genug, wenn zwei zu Fuß gehen? Geht's nicht leichter, wenn einer von euch reitet?«
そこへ四人目の旅人がやって来て言った.「君たちは奇妙な連中だね.みんなで歩かなくともいいだろう.君たちのうち一人が乗った方が楽なのに」


Da band der Vater dem Esel die vordern Beine zusammen, und der Sohn band ihm die hintern Beine zusammen, zogen einen starken Baumpfahl durch, der an der Straße stand, und tragen den Esel auf der Achsel heim.
So weit kann's kommen, wenn man es allen Leuten will recht machen.
そこで親父はロバの前足を,息子は後ろ足を一緒にして縛り,道ばたにあった丸太をその間に通して家までかついで帰った.みんなに気に入られるとすれば,こうするしかないだろう.

お詫び 
下線部はわかりませんでした.想像で訳しました.また多数の誤訳があると思います.悪しからず.


2014/09/17   ドイツ語     299TB 0   299Com 0  

ベクトル練習

授業中ノートが取りきれなかった皆さんは参考にしてください.今週中に第2章空間のベクトルに入ります.

練習 $\bigtriangleup$ OABにおいて,辺OAを3:2に内分する点をC, 辺OB を1:2に内分する点を D とし,線分 ADと線分BCの交点をPとする.
$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB}=\overrightarrow b$ とするとき, $\overrightarrow {OP}$ を$\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ を用いて表せ.

解答 
$AP:PD=s:(1-s)$ とする. 点Pは線分ADを$s:(1-s)$に内分し,また $\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a$, $\overrightarrow {OD}=\displaystyle{\frac{1}{3}}\overrightarrow b$ から
\begin{align*}
\overrightarrow {OP}&= \frac{(1-s)\overrightarrow {OA}+s\overrightarrow {OD}}{s+(1-s)} \quad\text{内分の公式をそのまま適用}\\
&=(1-s)\overrightarrow {OA}+s\overrightarrow {OD} \quad \text{分母が1になる}\\
&= (1-s)\overrightarrow a + \frac{1}{3}s\overrightarrow b \, \, \cdots \, \, ①
\end{align*}

$BP:PC=t:(1-t)$ とする. 点Pは線分BCを$t:(1-t)$に内分し,$\overrightarrow {OB}=\overrightarrow b$, $\overrightarrow {OC}=\displaystyle{\frac{3}{5}}\overrightarrow a$ から
\begin{align*}
\overrightarrow {OP}&= \frac{(1-t)\overrightarrow {OB}+t\overrightarrow {OC}}{t+(1-t)} \quad\text{内分の公式をそのまま適用}\\
&= (1-t)\overrightarrow {OB}+t\overrightarrow {OC} \quad \text{分母が1になる}\\
&=(1-t)\overrightarrow b + \frac{3}{5}t\overrightarrow a\\
&= \frac{3}{5}t\overrightarrow a + (1-t)\overrightarrow b \, \, \cdots \, \, ②
\end{align*}

$\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$ で$\overrightarrow a$と$\overrightarrow b$は平行ではないから$\overrightarrow {OP}$を用いた表し方はただ一通りである.
よって①,② から $1-s=\displaystyle{\frac{3}{5}t}$, $\quad$ $\displaystyle{\frac{1}{3}s=1-t}$ これを解いて  $s=\displaystyle{\frac{1}{2}}$, $\quad$ $t=\displaystyle{\frac{5}{6}}$
したがって $s=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ を①に代入して
\[ \overrightarrow {OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow a + \frac{1}{6}\overrightarrow b  \quad \square \]

コメント
内分の公式の分子$\overrightarrow {OA}$と$\overrightarrow {OD}$ の順序,$\overrightarrow {OB}$ と$\overrightarrow {OD}$ の順序に注意すること.また,$AP:PD=s:(1-s)$ としたのは線分ADの長さを$1$と考えたから,その長さを$2$, でも$3$ としても結果は同じ.問題は比だから可能である.

2014/09/14   高校数学     298TB 0   298Com 0  

補充問題

文化祭の準備の前日までに第一節を終了したかったのですがだめでしたね.ベクトルについて何も知らないところから,少ない授業時間でここまで理解した皆さんに敬意を表します.次の問題の解説は省略し,授業は文化祭終了後第二節から始めます.

2.次の問いに答えよ.
(1) 次が成り立つことを示せ.
$\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ , $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$ で $\overrightarrow a =( a_1, \, \, a_2)$, $\overrightarrow b =( b_1, \, \, b_2)$ のとき
$\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$ $\quad \Longleftrightarrow \quad $ $a_1b_2-a_2b_1=0$ (ただし,$\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$ は $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ が平行であることを表す記号.世界ではこちらが主流 )
(2) 2つのベクトル $\overrightarrow a =(9,\, \, -6)$, $\overrightarrow b=(x, \, \, 2)$ について,$\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$ のとき,(1) の結果を用いて,$x$ の値を求めよ.

解答
(1) $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$ より $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ のなす角は $0$° または $180$° であるから $\cos \theta= \pm1$
\[ \cos \theta = \frac{ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}{\sqrt{b_1^2+b_2^2}}}=\pm1 \]
したがって
\[ a_1b_1+a_2b_2= \pm \sqrt{a_1^2+a_2^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2} \]
両辺を2乗して
\begin{align*}
(a_1b_1+a_2b_2)^2 &= (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \\
a_1^2 b_1^2+2a_1b_1a_2b_2+a_2^2b_2^2 &= a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2\\
a_1^2 b_2^2 -2 a_1b_1 a_2 b_2 +a_2^2 b_1^2 &= 0 \\
(a_1b_2-a_2b_1)^2&= 0 \\
a_1b_2-a_2b_1 &= 0
\end{align*}
逆もなりたつから
\[ \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \quad \Longleftrightarrow \quad a_1b_2-a_2b_1=0 \]

(2)$ \quad 9 \times 2-(-6) \times x =0$ より $x=-6$


2014/09/04   高校数学     297TB 0   297Com 0  

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