雅楽多文書館

2014年10月の記事一覧

数式の書き方

課題: align 環境の中にコメントを入れるにはどうすればいいのか?

Übung:  Bringen Sie $\displaystyle{\frac{1+i }{2-i }}$ auf die Form $a+bi$. $i$: imaginäre Einheit
Lösung
\begin{align*}
&\text{Multiplizieren Sie den Zähler und Nenner mit } \, \, 2+i.\\
&\\
&\displaystyle{\frac{1+i}{2-i}} = \displaystyle{\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}\\
&\\
&\text{Entfernen Sie die Klammen und fassen die ähnlichen Terme zusammen}\\
&\\
&\displaystyle{\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}} = \displaystyle{\frac{2+3i+i^2}{2^2-i^2}} \\
&\\
&\text{Jetzt einsetzen Sie $-1$ für $i^2$ } \\
&\\
&\displaystyle{\frac{1+i}{2-i}}= \displaystyle{\frac{2+3i-1}{4-(-1)}}\\
&= \displaystyle {\frac {1+3i}{5}}\\
&= \displaystyle {\frac {1}{5} + \frac{3}{5}i} \quad \quad \square
\end{align*}

コメント
LaTeXをMacで使うと日本語を受け付けない.昔は日本語も使えたがOSをバージョンアップしたら,アルファベットしか使えなくなった.解決方法があるらしいがそこまでの知識はない.でもこのFC2ブログではLaTeXの形式で日本語が使えることが分かった.上のLösungではalign環境を使っている.

スポンサーサイト

2014/10/13   Mathematik     308TB 0   308Com 0  

ソースプログラムの公開

このブログで前回高校生向けに書いた,次の数式のソースコードを公開します.LaTeX と MathJax を使って書いています.
\begin{align*}
\overrightarrow {OR}
&= \displaystyle{\frac{1}{2}}
( \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OQ })\\
&= \displaystyle{\frac{1}{2}}
(\displaystyle{\frac{\overrightarrow a }{2}
+ \frac{2\overrightarrow b
+ \overrightarrow c}{3}}) \\
&= \displaystyle {\frac {1}{4}}
\overrightarrow a + \displaystyle
{\frac {1}{3}}\overrightarrow b + \displaystyle
{\frac {1}{6}}\overrightarrow c
\end{align*}

以下は上の数式のソースコードです.
$\text{\begin{align*}}$
\overrightarrow {OR}
&= \displaystyle{\frac{1}{2}}
( \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OQ })\\
&= \displaystyle{\frac{1}{2}}
(\displaystyle{\frac{\overrightarrow a }{2}
+ \frac{2\overrightarrow b
+ \overrightarrow c}{3}}) \\
&= \displaystyle {\frac {1}{4}}
\overrightarrow a + \displaystyle
{\frac {1}{3}}\overrightarrow b + \displaystyle
{\frac {1}{6}}\overrightarrow c
\end{align*}


コメント
この数式ではベクトルを表す矢印と分数の形だけが大切です.矢印は\overrihgtarrow {矢印が必要な部分}で,分数は \frac{分子}{分母} で 書けます.他の数式もだいたいこんな感じです.たったこれだけの数式を書くのに入力が大変だと感じる方も多いと思いますが,一度書いてその後はコピー&ペーストで対応してます.

LaTeX はホームページを書くときの,HTMLと似ています.ホームページを書いている方には簡単だと思います.最近は LaTeX を用いて数式を書くことが多くなり,ワードや一太郎やエクセルの使い方を忘れそうです.時代遅れのような気もしますが$\dots$.

なお,このコードをコピーして使うときは,FC2側のソースコードで MathJax を使えるようにする必要があります.これについては MathJax で検索すれば使い方も分かります.


2014/10/10   Programming     303TB 0   303Com 0  

空間のベクトル

時間の都合により授業中に解答を省略したり,ノートが取りきれなかった人もいた問題です.中間考査も近いです,しっかり勉強してください.なお,このページはホームページ(高校数学,講義ノート)にもまとめてあります.

練習12
2つのベクトル$\overrightarrow a=(2, \, 0, \, -1)$,$\overrightarrow b=(1, \, 3, \, -2)$ の両方に垂直で,大きさが$
\sqrt6$ のベクトル $\overrightarrow p$ を求めよ.

解答 
$\overrightarrow p=(x, \, \, y, \, \, z)$ とする.
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow p$ より $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow p =0$ であるから
$2x-z=0 \quad \cdots ①$

$\overrightarrow b \bot \overrightarrow p$ より $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow p =0$ であるから
$x+3y-2z =0 \quad \cdots ②$

大きさが $\sqrt 6$ であるから
$|\overrightarrow p |^2 = \sqrt6^2 \quad \cdots ③$

① から$z=2x$
これを ② に代入して$x+3y-2(2x)=0$ より$y=x$
これらを ③ に代入して
$x^2+x^2+(2x)^2=6$
$x^2=1$ より$x=\pm1$
$x=1$ のとき$y=1$, $z=2$
$x=-1$ のとき$y=-1$, $z=-2$
よって $\overrightarrow p =(1, 1, 2), \quad (-1, -1, -2)$ $\quad \square$



練習14
四面体$OABC$において,辺$OA$ の中点を$M$, 辺$BC$ を$1:2$ に内分する点を $Q$ ,線分 $MQ$ の中点を $R$ とし,直線 $OR$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とする.$OR:OP$ を求めよ.

解答
$O$ に関する位置ベクトルを考え.$A(\overrightarrow a)$, $\, \, B(\overrightarrow b)$, $\, \, C(\overrightarrow c)$ とする.
点$P$ は平面 $ABC$ 上にあるから
$\overrightarrow {OP} = s \overrightarrow {AB} + t \overrightarrow {AC}$ とおくと

\begin{align*}
\overrightarrow {OP} &= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AP} \\
&= \overrightarrow a +s( \overrightarrow b-\overrightarrow a)+t(\overrightarrow c - \overrightarrow a)\\
&= (1-s-t) \overrightarrow a + s \overrightarrow b + t \overrightarrow c \quad \cdots ①
\end{align*}
また,$M$ は辺$OA$ の中点,$Q$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するから
$\overrightarrow {OM} = \displaystyle {\frac {1}{2}}\overrightarrow a$
$\overrightarrow {OQ} = \displaystyle {\frac {2\overrightarrow b + \overrightarrow c}{1 + 2}}=\displaystyle {\frac {2\overrightarrow b + \overrightarrow c}{3}}$

$R$ は線分 $MQ$ の中点だから
\begin{align*}
\overrightarrow {OR} &= \displaystyle{\frac{1}{2}}( \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OQ })\\
&= \displaystyle{\frac{1}{2}}(\displaystyle{\frac{\overrightarrow a }{2} + \frac{2\overrightarrow b + \overrightarrow c}{3}}) \\
&= \displaystyle {\frac {1}{4}}\overrightarrow a + \displaystyle {\frac {1}{3}}\overrightarrow b + \displaystyle {\frac {1}{6}}\overrightarrow c
\end{align*}
$P$ は直線$OR$ 上にあるから
$OR:OP = 1:k$ とおくと $OP= k OR$
\[ \overrightarrow {OP}= \displaystyle {\frac {1}{4}}k\overrightarrow a + \displaystyle {\frac {1}{3}}k\overrightarrow b + \displaystyle {\frac {1}{6}}k\overrightarrow c \quad \cdots ② \]
4点 $O$, $A$, $B$, $C$ は同じ平面上にないから $\overrightarrow {OP}$ の $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c$ を用いた表し方はただ一通りである.
①,② から $\displaystyle {\frac {1}{4}}k=1-s-t, \quad$ $\displaystyle {\frac {1}{3}}k=s,\quad$ $\displaystyle {\frac {1}{6}}k=t$
これを解いて $k= \displaystyle {\frac {4}{3}}$
よって $OR:OP =1:\displaystyle {\frac {4}{3}}=3:4$ $\quad \square$



2014/10/08   高校数学     306TB 0   306Com 0  

ベクトル 平面図形への応用 (プリント) No3

生徒の皆さん,プリント5,6の解答です.月曜からまた授業に集中しましょう.なお,プリントの解答はホームページ(高校の数学)にもアップしてあります.PCが使える環境にある人はそちらを参考にしてください.

5 △OAB において,辺OA の中点を C,辺OB を2:3に内分する点をDとし,線分AD とBCの交点をPとする.
$\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow a$, $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow b$ とするとき,$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$ を用いて表せ.

解答
$AP:PD= t:(1-t)$ とする.
$\overrightarrow {OD}$ = $\displaystyle{\frac{2}{5}}\overrightarrow {OB}$ = $ \displaystyle{\frac{2}{5}}\overrightarrow b$ より
$\overrightarrow{OP}$ = $(1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow {OD}$ = $(1-t)\overrightarrow a + \displaystyle{\frac{2}{5}}t\overrightarrow b \quad \cdots ①$
また
$BP:PC =s:(1-s)$ とする.
$\overrightarrow {OC}$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}}\overrightarrow {OA}$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}}\overrightarrow a$ より
$\overrightarrow{OP}$ = $(1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow {OC}$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}}s\overrightarrow a + (1-s)\overrightarrow b \quad \cdots ②$
$\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$ で $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ は平行ではないから,$\overrightarrow{OP}$ の $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ を用いた表し方はただ1通りである.
したがって①, ② より $1-t=\displaystyle{\frac{1}{2}}s$, $\displaystyle{\frac{2}{5}}t = 1-s$
これを解いて $t= \displaystyle{\frac{5}{8}}$, $s= \displaystyle{\frac{3}{4}}$
$s= \displaystyle{\frac{3}{4}}$ を② に代入して
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{3}{8}}\overrightarrow a + \displaystyle{\frac{1}{4}}\overrightarrow b$ $\quad \square$



6 △OAB において,辺 OA を3:2 に外分する点をC,辺OB を3:2に内分する点 Dとし,線分CDとABの交点をPとする.
$\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow a$, $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow b$ とするとき,$\overrightarrow{OA}$ を $\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$ を用いて表せ.

解答 教科書の研究の方法で解く
$\overrightarrow{OP}$ = $x\, \overrightarrow{OA}+ y\, \overrightarrow{OB}$ とおく.
点Pは直線AB 上にあるから
$x+y=1\quad \cdots ①$
また
$\overrightarrow{OA}$ = $\displaystyle{\frac{1}{3}}\overrightarrow{OC}$,$\overrightarrow{OB}$ = $\displaystyle{\frac{5}{3}}\overrightarrow{OD}$ より
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{1}{3}}x\, \overrightarrow{OC} + \displaystyle{\frac{5}{3}}y\, \overrightarrow{OD}$
点Pは直線CD 上にあるから
$\displaystyle{\frac{1}{3}}x + \displaystyle{\frac{5}{3}}y = 1 \quad \cdots ②$
①, ② を解いて $x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$, $y=\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}}\, \overrightarrow{OA} + \displaystyle{\frac{1}{2}}\, \overrightarrow{OB}$
すなわち
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{1}{2}}\, \overrightarrow a + \displaystyle{\frac{1}{2}}\, \overrightarrow b$ $\quad \square$



2014/10/04   高校数学     302TB 0   302Com 0  

ベクトル 平面図形への応用 (プリント) No2

生徒の皆さん,修学旅行も終わり,まだその余韻を味わっているころだと思います.野暮な話だけど落ち着いたら参考にしてください.例によって計算等の誤りはそっと知らせてください.

3 平行四辺形 ABCD において,辺AD を2:5に内分する点を E ,対角線 AC を2:7に内分する点を F とする.
$\overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow a$,$\overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow b$, とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{BF}$ を $\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$ を用いて表せ.
(2) 3点 B, E, F は一直線上にあることを示せ.

解答
(1) $\overrightarrow{AE}$ = $\displaystyle{\frac{2}{7}}\overrightarrow b$,$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow a$ より $\overrightarrow{BE}$ = $\displaystyle{\frac{2}{7}}\overrightarrow b- \overrightarrow a$ = $\displaystyle{\frac{2\overrightarrow b-7\overrightarrow a}{7}}$
また
$\overrightarrow{AF}$ = $\displaystyle{\frac{2}{9}}\overrightarrow {AC}$ = $\displaystyle{\frac{2}{9}}(\overrightarrow a + \overrightarrow b)$, $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow a$ より
$\overrightarrow{BF}$ = $\displaystyle{\frac{2}{9}}(\overrightarrow a + \overrightarrow b) - \overrightarrow a$ = $\displaystyle{\frac{2\overrightarrow b-7\overrightarrow a}{9}}$

(2) (1)より
$7\overrightarrow{BE}$ = $9\overrightarrow{BF}$ したがって $\overrightarrow{BE}$ = $\displaystyle{\frac{9}{7}}\overrightarrow{BF}$
よって,3点B, E, Fは一直線上にある.$\quad \square$


4 △OAB において,辺OA を1:3に内分する点をC,辺OB を2:1に内分する点を D とし,線分AD とBCの交点をPとする.$\overrightarrow{OA}$ = $ \overrightarrow a$, $\overrightarrow{OB}$ = $ \overrightarrow b$とするとき $\overrightarrow{OP}$ を $ \overrightarrow a$, $ \overrightarrow b$ を用いて表せ.

解答
$AP:PD=t:(1-t)$ とする.
$\overrightarrow{OD}$ = $\displaystyle{\frac{2}{3}} \overrightarrow{OB}$ = $\displaystyle{\frac{2}{3}} \overrightarrow b$,$\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow a$ より
$\overrightarrow{OP}$ = $(1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OD}$ = $(1-t)\overrightarrow a + \displaystyle{\frac{2}{3}} t \overrightarrow b$ $\quad \cdots ①$

$BP:PC = s:(1-s)$ とする.
$\overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle{\frac{1}{4}} \overrightarrow{OA}$ = $\displaystyle{\frac{1}{4}} \overrightarrow a$,$\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow b$ より
$\overrightarrow{OP}$ = $(1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OC}$ = $(1-s)\overrightarrow b+s\displaystyle{\frac{1}{4}} \overrightarrow a$ = $\displaystyle{\frac{1}{4}} s\overrightarrow a + (1-s)\overrightarrow b$ $\quad \cdots ②$
$\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$ で $\overrightarrow a$ と $\overrightarrow b$ は平行ではないから,$\overrightarrow{OP}$ の $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ を用いた表し方はただ1通りである.
①, ② から$1-t = \displaystyle{\frac{1}{4}}s$, $\displaystyle{\frac{2}{3}}t = 1-s$ これを解いて
$t = \displaystyle{\frac{9}{10}}$, $s = \displaystyle{\frac{2}{5}}$
$s = \displaystyle{\frac{2}{5}}$ を②に代入して
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{1}{10}}\overrightarrow a + \displaystyle{\frac{3}{5}}\overrightarrow b$ $\quad \square$


解答(研究P41の方法で)
$\overrightarrow{OP}$ = $x \, \overrightarrow{OA} + y \, \overrightarrow{OB}$ とおく.
$\overrightarrow{OA}$ = $4\overrightarrow{OC}$ であるから
$\overrightarrow{OP}$ = $4x \, \overrightarrow{OC} + y \, \overrightarrow{OB}$
点Pは直線BC上にあるから,$4x+y=1\quad \cdots ①$

一方 $\overrightarrow{OB}$ = $\displaystyle{\frac{3}{2}}\overrightarrow{OD}$ であるから
$\overrightarrow{OP}$ = $x \, \overrightarrow{OA} + \displaystyle{\frac{3}{2}}y \, \overrightarrow{OD} $
点Pは直線AD上にあるから
$x + \displaystyle{\frac{3}{2}}y =1 \quad \dots ②$
①, ② を解いて
$x=\displaystyle{\frac{1}{10}}$, $y= \displaystyle{\frac{3}{5}}$
したがって
$\overrightarrow{OP}$ = $\displaystyle{\frac{1}{10}}\overrightarrow a + \displaystyle{\frac{3}{5}}\overrightarrow b$ $\quad \square$


2014/10/02   高校数学     301TB 0   301Com 0  

検索フォーム

.

 

RSSリンクの表示

.

 

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

.

 

QRコード

QR

.