雅楽多文書館

2014年11月の記事一覧

累乗根グラフで確認(続き)

累乗根 $\sqrt[\leftroot{1} \uproot{1} n]{a}$ $\, \, \, $(ただし$n$ は正の数) の個数.前回の表をグラフで見る.

$n$ の奇数,偶数$n$ が奇数のとき$n$ が偶数のとき
$a > 0$ のとき$\sqrt[\uproot{2} n]{a} >0$ 一つ$-\sqrt[\uproot{2} n]{a} < 0$ $\sqrt[\uproot{2} n]{a} > 0$ 二つ
$a < 0$ のとき$\sqrt[\uproot{2} n]{a} <0$ 一つなし


1.次のグラフは $y = x^n$ (ただし$n$ は偶数) のグラフです.
$x^n=a$ , $a >0$ のときこの方程式は正の解と負の解があることが分かる.すなわち $a$ の $n$ 乗根は正の数と負の数をもつことがわかる.また,$a < 0$ のとき解がないこと,すなわち負の数 $a$ の $n$ 乗根がないことも分かる.


2.次のグラフは $y = x^n$ (ただし$n$ は奇数) のグラフです.
$x^n=a$ , $a >0$ のときこの方程式は正の解が一つ.また,$a < 0$ のとき負の解が一つあることが分かる.すなわち$a$ の $n$ 乗根は$a >0$のとき正の数を一つ,また$a < 0$ のとき負の数を一つもつことが分かる.


コメント
教科書でも簡単に触れているが,まだ微積分を学習していない人にはグラフ自体が疑問だと思います.$y=x^n$ のグラフは $n$ が偶数か奇数かで上記のようになることを認めてください.次の章を学習すれば簡単に分かりますから.それで $a$ の正負, $n$ の遇奇で4通りの場合があることをグラフからも確認できると思います.

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2014/11/28   高校数学     315TB 0   315Com 0  

累乗根

$a$ の $n$ 乗根 $\sqrt[\leftroot{1} n] {a}$ について分かりにくかったようです.私の説明不足ですね.$a$ の正負,$n$ の奇数,偶数で4通りに分類できることを理解してください.
(1) $a > 0$, $n$ 奇数
(2) $a > 0$, $n$ 偶数
(3) $a < 0$, $n$ 奇数
(4) $a < 0$, $n$ 偶数

詳しくはこちらを参考にしてください.http://kiyosihp.web.fc2.com/situ6.pdf とくに表を理解すること.

2014/11/26   高校数学     314TB 0   314Com 0  

三角方程式

課題 
$0 \leqq x < 2\pi$ のとき次の方程式を解きなさい.
$\sin x+\sqrt{3} \cos x = 1$

解答
左辺の三角関数を合成すると
$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2 \sin (x +\displaystyle{\frac{\pi}{3}})$
したがって
$2 \sin (x +\displaystyle{\frac{\pi}{3}}) = 1$
すなわち
$ \sin (x +\displaystyle{\frac{\pi}{3}}) = \frac{1}{2} \, \, \cdots \, ①$
また
$0 \leqq x < 2\pi$ のとき
辺辺に $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ を加えて
$ \displaystyle{\frac{\pi}{3}} \leqq x + \displaystyle{\frac{\pi}{3}}< 2\pi + \displaystyle{\frac{\pi}{3}} = \displaystyle{\frac{ 7\pi}{3}} \, \, \cdots\, ②$
であるから ② の範囲で ① を解くと
$x + \displaystyle{\frac{\pi}{3}} = \displaystyle{\frac{5\pi}{6}}$ または $x + \displaystyle{\frac{\pi}{3}} = \displaystyle{\frac{13\pi}{6}}$ より
$x = \displaystyle{\frac{\pi}{2}}\, \, , \quad \displaystyle{\frac{11\pi}{6}}$ $\quad \square$




コメント
$x + \displaystyle{\frac{\pi}{3}} = \displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ とする人がいるが誤りである.なぜなら,この方程式を解くと, $x= -\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ となり $0 \leqq x < 2\pi$ を満たさないからである.これは,$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ が $x + \displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ のとる②の範囲 $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ 以上 $\displaystyle{\frac{7\pi}{3}}$ 未満の角ではないからである.$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ を一回転させた $\displaystyle{\frac{13\pi}{6}}$ ならば動径の位置が同じになり,しかも②の範囲も満たすから問題は解決する.この問題はここがキーポイント,サインの値が $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ になる角は無数にあるがどの範囲で探すかを考えること.
グラフは $y= 2 \sin (x +\displaystyle{\frac{\pi}{3}})$ $\, \, $ $(0 \leqq x < 2\pi)$と $y=1$ のグラフである.2つの関数の交点の $x$ 座標が $0$ と $2\pi$ の間にあることの意味を考えること.


2014/11/20   高校数学     313TB 0   313Com 0  

グラフ

Aufgabe
Zeichnen Sie den Graph von $f(x)=x^3-3x$.

Lösung
Sie erhalten von der gegeben Funktion:
$f\, '(x)=3x^2-3$.
Setzen Sie die Ableitung gleich null und lösen Sie nach $x$ auf.
$3x^2-3=0$
$3(x+1)(x-1)=0$
$x+1=0$ oder $x-1=0$
$x= -1, 1$
Diese zwei $x$-Werte sind kritische Werte von $f$.
Wenn $x<-1$ oder $1< x$, dann $f(x)$ steigt ist.
Wenn $-1< x < 1$, dann $f(x)$ fällt ist.
Im letzten Schritt ermitteln Sie die Funktionswerte, indem Sie die $x$-Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzen:
$f(-1)=(-1)^3-3 \times (-1)=2$
$f(1)=1^3-3 \times 1=-2$ $\quad \quad$ $\square$





2014/11/11   Mathematik     310TB 0   310Com 0  

めがね橋と楽山園と紅葉と

昨日,群馬県安中市にあるめがね橋と甘楽町にある楽山園を見学しました.
 
めがね橋は国鉄信越本線横川駅 - 軽井沢駅間にある橋梁で現在は廃線になっています.国道18号線(旧道)から見上げると大きな建造物で,現存するレンガ作りの橋の中では国内最大規模ということです.紅葉は終わりに近づき土色でしたが観光客はまだ多く,駐車場も混雑していて普通車が駐車できるスペースは満車の状態でした.
 
国道18号線(旧道)から見上げためがね橋


上の写真の反対側から見ためがね橋


これが正式な名前なのでしょうか


地元の高校生の皆さんによる太鼓の演奏を聴きました


トンネルの中から見ためがね橋


橋の上を歩いてみました




楽山園は江戸時代初期に織田氏によって造られた小幡藩邸の庭園です.パンフレットによると,池泉回遊式借景庭園で「戦国武将庭園」から「大名庭園」へと移行する過度期の庭園ということです.また,織田宗家七代の墓が近くの山の中腹にあるそうです.織田信長公の子孫の墓が,京都から遠く関東にあるとは浅学非才のため知りませんでした.

池や茶屋などもあり広い庭園でした


建物などは真新しく最近建てられたようでした 


楽山園から出たところ武家屋敷跡などがありました.町中は城下町の風情がありました.




2014/11/09   雑記     312TB 0   312Com 0  

グラフの平行移動

命題 関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向へ $p$,$y$ 軸方向へ $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y-q=f(x-p)$ である.

証明 下のグラフを参考にして,$y=f(x)$ 上の任意の点 $A(x, \, y)$ がこの平行移動によって点 $B(X, \, Y)$ に移ったとする.
このとき,$X=x+p$,$Y=y+q$ が成り立つから,$x=X-p$,$y=Y-q$ である.これらを $y=f(x)$ に代入して,$Y-q=f(X-p)$ を得る.$x$,$y$ は関数 $y=f(x)$ 上の任意の点だから,$X$,$Y$ を$x$,$y$ に書き換えると $y-q=f(x-p)$ が成り立つ.これは $y=f(x)$ を $x$ 軸方向へ $p$,$y$ 軸方向へ $q$ だけ平行移動したグラフの方程式である. $\quad Q. E. D.$




具体例 二次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に2,$y$ 軸方向に3だけ平行移動したグラフの方程式は$x$ を$x-2$ で,$y$ を$y-3$ で置き換えればよい,$y-3=(x-2)^2$,すなわちもとめる方程式は $y=(x-2)^2+3$ である.$\quad \square$

コメント
これも時間の都合で結果だけを説明したクラスがあります.この方法は三角関数だけでなく多くの関数に適用できます.これから指数関数,対数関数などのグラフも扱います.グラフの平行移動の問題は上の命題を参考にしてください.


2014/11/06   高校数学     311TB 0   311Com 0  

秋 紅葉 観音霊場

秩父三十四カ所観音霊場の一つ「二十三番音楽寺」に行ってきました.ここは音楽関係の芸能人がよく来るということで有名な札所です.秩父はパワースポットという所がたくさんあるらしく,最近は女性の学生さん達を見かけることが多くなった.と,市内の方が話してくれました.このすぐ上にミューズパークという秩父市の広い公園があり,市民の方々の憩いの場になっているそうです.

音楽寺です.
ちょうど般若心経が唱えられていました.
ongaku.jpg


正式な名前ではないのでしょうが,巡礼の皆さんは音楽寺と呼んでいました.
ongaku2.jpg


この鐘をつかせてもらいました.
kane.jpg


紅葉も始まったばかりのようです.後ろの木々はまだ青々としていました.
kouyou1.jpg


ミューズパークです.
こちらは紅葉も最盛期が過ぎたようで,葉の落ちている銀杏も目立ちました.
kouyou2.jpg


ミューズパーク内の音楽堂です.
館内にはクラシック音楽が流れていました.一人静かに物思いに耽るには良いところです.



子供達が喜びそうなおもちゃのような列車です.
kisya.jpg



2014/11/03   雑記     307TB 0   307Com 2  

三角関数のグラフ

次の関数のグラフを書け.この問題は次の命題を使うとよい.

命題 $y=f(x)$ のグラフをx軸方向へ p , y軸方向へ q だけ平行移動したグラフの方程式は
$y-q =f(x-p)$
である.

(1) $y = \cos (x-\frac{\pi}{3})$
$y=\cos x$ のグラフをx軸方向へ$+\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの


(2) $y = \sin(x+\frac{π}{6})$
$y = \sin x$ のグラフをx軸方向へ$-\frac{\pi}{6}$ だけ平行移動したもの.(1),(2) は同じグラフになります.


(3) $y=\sin(x +\frac{π}{2})$
$y = \sin x$ のグラフをx軸方向へ$-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したもの.$y = \cos x$ のグラフと同じになります.


(4) $y = \tan(x-\frac{π}{4})$
$y = \tan x$ のグラフをx軸方向へ$+\frac{\pi}{4}$ だけ平行移動したものです.( 赤い曲線は$y=\tan x$ のグラフ)


コメント
グラフを書く問題.三角関数のグラフはサイン,コサイン,タンジェントの基本的なグラフを上下左右に延ばしたり,縮めたり,平行移動したりすることにより書けます.面倒くさがらずに自分で書いてみること.解答は Macの付属アプリ Grapher を使用しました.スマホでは見にくい人はPCで見てください.

2014/11/01   高校数学     309TB 0   309Com 0  

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