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2014年12月の記事一覧

二次不等式(復習)

前回の対数不等式を解くときに必要となった二次不等式がよく分かっていない,という人がいた.そこで二次不等式の復習.
予備知識として,二次方程式が解けること,二次関数のグラフを知っていること.

次の方法で説明
二次方程式が異なる実数解をもつ $\Longleftrightarrow$ $x$ 軸と異なる2点で交わる $\Longrightarrow$ 二次不等式が解ける.

課題 二次不等式 $x^2+2x-15>0$ を解く.

解答 二次方程式 $x^2+2x-15=0$ を解くと $x=-5$, $\quad$ $x=3$
( 異なる2つの実数解をもった)
二次関数 $y=x^2+2x-15$ のグラフを書く.
( $x$ 軸と異なる2点で交わった)


gra20141228.jpg

課題は $x^2+2x-15>0$ を解くことだから,グラフの$Y$座標が $0$ より大きい部分 (グラフでは赤い部分) に対応する $x$ の範囲を求めればよい.したがって,この二次不等式の解は$X$軸上の赤い部分 $x<-5$ または $3 < x$  $\quad$ $\square$

補足 逆に $x^2+2x-15<0$ (不等号の向きが逆) の解は$X$ 軸上の青い部分.すなわち $-5 < x <3$.

コメント
二次関数のグラフが書けることより $X$ 軸と何処で交わるかを求めることが大切.頂点の座標を求めることなど必要ではない.あとは課題が何を要求しているかを考え,正確に答えればよい.この課題では $x^2+2x-15>0$ すなわち,$y >0$ となる $x$ の範囲を答えればよい.

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2014/12/29   高校数学     325TB 0   325Com 0  

対数不等式

371(4) 次の対数不等式を解きなさい.
\[ (\log_\frac{1}{3}x)^2+\log_\frac{1}{3}x^2-15>0 \]解答\begin{align*}
x &>0 \, \, \cdots ① &(& \text{anti-logarithm condition} )\\
(\log_\frac{1}{3}x)^2+\log_\frac{1}{3}x^2-15 & >0 \\
(\log_\frac{1}{3}x)^2+2\log_\frac{1}{3}x-15& > 0 &(& \text{Since}\, \, \, \log_aM^k = k\log_aM)\\
t^2+2t-15 &>0 &(& \text{Let} \, \, \, \log_\frac{1}{3}x = t)\\
(t+5)(t-3) & >0 &(& \text{factorization})\\
t <-5 \quad 3 & < t &(& \text{solution})\\
\log_\frac{1}{3}x<-5 \quad 3&<\log_\frac{1}{3}x &(&\text{Since}\, \, \, \log_\frac{1}{3}x = t)
\end{align*}
$\log_\frac{1}{3}x<-5 $ より $-5$ を底が $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ の対数で表と,$-5=\displaystyle{\log_\frac{1}{3} (\frac{1}{3})^{-5}}=\displaystyle{\log_\frac{1}{3}} (3^{-1})^{-5}=\displaystyle{\log_\frac{1}{3}} 3^5=\displaystyle{\log_\frac{1}{3}} 243$ であるから,$\log_\frac{1}{3}x < \log_\frac{1}{3}243$.
$3<\log_\frac{1}{3}x$ より $3$ を底が $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ の対数で表すと,$3= \displaystyle{\log_\frac{1}{3} (\frac{1}{3})^3} = \displaystyle{\log_\frac{1}{3} (\frac{1}{27}})$であるから,$\log_\frac{1}{3} \displaystyle{\frac{1}{27}} < \log_\frac{1}{3}x$.
底 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ は$1$ より小さいから $x < \displaystyle{\frac{1}{27}} ,\quad 243 < x \, \, \cdots ②$
① ② から,解は $0 < x < \displaystyle{\frac{1}{27}} ,\quad 243< x$ $\square$

コメント
特に難しくはないけど,二次不等式と対数のコラボですね.


2014/12/27   高校数学     324TB 0   324Com 0  

対数方程式

371(2) 次の対数方程式を解きなさい.
\[(\log_\frac{1}{2}x)^2 - \log_\frac{1}{4}x=0 \]解答
最初に底を $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ にそろえるため,第2項 $\log_\frac{1}{4}x$ を底の変換公式を用いて変形する.
\begin{align*}
\log_\frac{1}{4}x &= \frac{\log_\frac{1}{2}x}{\log_\frac{1}{2}\frac{1}{4}} \\
&= \frac{\log_\frac{1}{2}x}{\log_\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2}\\
&= \frac{\log_\frac{1}{2}x}{2\log_\frac{1}{2}(\frac{1}{2})}\\
&= \frac{\log_\frac{1}{2}x}{2}\\
&=\frac{1}{2} \log_\frac{1}{2}x
\end{align*}したがって与えられた方程式は
\[ (\log_\frac{1}{2}x)^2 - \frac{1}{2} \log_\frac{1}{2}x=0 \] となり,これは $\log_\frac{1}{2}x$ についての二次方程式となる. したがって $\log_\frac{1}{2}x=t$ とおくと $t^2- \displaystyle{\frac{1}{2}t}=0$ すなわち $t(t- \displaystyle{\frac{1}{2})}=0$ ゆえに $t=0,\quad \displaystyle{\frac{1}{2}}$
$t=0$ すなわち $\log_\frac{1}{2}x=0$ のとき $x=(\displaystyle{\frac{1}{2}})^0=1$
$t=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ すなわち $\log_\frac{1}{2}x= \displaystyle{\frac{1}{2}}$のとき $x= (\displaystyle{\frac{1}{2})^\frac{1}{2}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt2}}$

補足
\begin{align*}
x&= \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{2} &(& a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[\uproot{2} n]{a^m})\\
&=\sqrt[\uproot{2} 2]{(\frac{1}{2})^1} &(& a=\frac{1}{2}, m=1, n=2) \\
&=\sqrt{(\frac{1}{2})}\\
&=\frac{1}{\sqrt2}
\end{align*}
コメント
演習の時間が少なかったため,この問題は与えられた課題の中では難しいと感じる人もいるかも $\cdots$ .
対数の計算をするときは最初に底を確認する.底が異なっていたら底をそろえることを考えること.指数,対数,累乗根は計算だけ.Selbstlernen!

2014/12/24   高校数学     323TB 0   323Com 0  

底の変換公式(対数関数)

問題 次の式を簡単にせよ.(本日の授業から)
$\log_32\cdot\log_227$

解答1
\begin{align*}
\log_32\cdot\log_227&=\log_32\cdot \frac{\log_327}{\log_32}\\
&=\log_327\\
&=\log_33^3\\
&=3\log_33\\
&=3
\end{align*}コメント
「底の変換公式を使うときは底をいくつにしたら良いかをしっかり考えること」という説明の後に解答1を示した.この解答を見て$\log_227$ の変換は底を $3$ にするしかないと誤解した人がいた.またなんで $3$ なんだろうという疑問を持った人もいた.確かにこの解答1は少しばかりのテクニックが必要と思った,そこで次の解答2を示した.

解答2
\begin{align*}
\log_32\cdot\log_227&=\frac{\log_52}{\log_53}\cdot \frac{\log_527}{\log_52}\\
&=\frac{\log_527}{\log_53}\\
&=\frac{\log_53^3}{\log_53}\\
&=3\cdot\frac{\log_53}{\log_53}\\
&=3
\end{align*}
コメント
この解答ではとくに底は $3$ でなくとも $1$ 以外の正の数ならいくつでもよい,ということを示したかった(ここでは底を $5$ とした).解答2を先に説明した後に解答1を示し,解答1のほうが計算が楽であると説明したほうが良かったのかもしれない.
最近の生徒さんたちは,解き方を覚えるという傾向が強いように感じる.そのほうが安心なのだろうが,いろいろと自分で試行錯誤し,自分の方法を見つけていくほうが面白いと思うのだが$\, \, \cdots$

2014/12/17   高校数学     321TB 0   321Com 0  

指数関数を含む不等式


問題 次の不等式を解きなさい.
$\displaystyle{(\, \frac{1}{2}\, )^x \geqq \displaystyle{\frac{1}{32}}}$

誤答 つぎのような誤りをときどき見かける.
\begin{align*}
(\, \frac{1}{2}\, )^x &\geqq \frac{1}{32} \enspace \quad\cdots①\\
(\, \frac{1}{2}\, )^x &\leqq(\, \frac{1}{2}\, )^5 \quad \cdots②\\
x & \leqq 5 \enspace \quad \quad\cdots③
\end{align*}コメント
不等号の向きを変えるところの誤り.
① 式から ② 式に移るところで不等号の向きを変えている.② 式は ① 式の右辺を書き換えただけ.底 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ が $1$ より小さいときは不等号の向きが変わることは知っているが,どの式から変えるのか混乱している.

正解
\begin{align*}
(\, \frac{1}{2}\, )^x &\geqq \frac{1}{32} \enspace \quad\cdots①\\
(\, \frac{1}{2}\, )^x &\geqq(\, \frac{1}{2}\, )^5 \quad \cdots②\\
x & \leqq 5 \enspace \quad \quad\cdots③
\end{align*}コメント
問題式の大小関係から指数部分の大小関係に移るときに不等号の向きを考える.この問題では,底 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ が $1$ より小さいから,指数部分の大小関係は問題式と逆になる.つまり,② 式から ③ 式に移るときに不等号の向きを変える.底が$1$より大きいときは問題式の不等号の向きと指数部分の不等号の向きは同じである.


2014/12/15   高校数学     320TB 0   320Com 0  

数学をドイツ語で書く

数学の説明をドイツ語で書くときの難しさ.
1 移項する
問題 次の二次方程式を解きなさい.
\[3x^2+5x+1 = 3 \]解 二次方程式の解の公式を使うために右辺の数を左辺に移項する.
Um Lösungsformel zu verwenden, transponiren Sie eine Zahl von rechten Seit nach links.
\begin{align*}
3x^2+5x+1-3 &= 0 \\
3x^2+5x-2 &= 0 \\
x&=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{6} \\
&=-2 \quad \frac{1}{3}
\end{align*}
2 かっこをはずす
問題 次の等式が $x$ についての恒等式となるように定数 $a$ , $b$, $c$ の値を定めよ.
\[2x^2-7x-1=a(x-1)^2+b(x-1)+c \]解 まず最初に方程式の右辺のカッコを外しなさい.その後同類項をまとめる(同類項が決定された後に,$x$ を変数として利用して)
Zum Ersten entfernen Sie die Klammern auf der rechten Seit der Gleichung. Anschließend fassen Sie ähnliche Terme zusammen (unter Verwendung von $x$ als variable, nach der die Ähnlichkeit entschieden wird ).
\begin{align*}
a(x-1)^2+b(x-1)+c &= ax^2-2ax+a+bx-b+c \\
&=ax^2-(2a-b)x+(a-b+c)\\
2x^2-7x-1&=ax^2-(2a-b)x+(a-b+c)
\end{align*}
この方程式はすべての $x$ の値に対して成立する.両辺の係数を比較して次が成り立つ.
Dies Gleichung besteht für alle Werte von $x$. Vergleichen Sie die Faktoren von der beiden Seiten, gilt es: \[ 2=a,\quad 7=2a-b, \quad -1=a-b+c \] Sie erhalten $a=2$, $b=-3$ und $c=-6$.


コメント
「移項」「展開」などの簡単な数学用語が意外と難しく感じる.このような初等的な事柄は専門書では説明していない.自分が持っている「和独辞典」にも載っていない.こんなときに頼るのがドイツ語の電子辞書である.DWDS(http://www.dwds.de/) いわゆる独独辞典なので語義の説明はほとんど分からないが,その語を含む文例がコーパスから提示されるので自分が必要としている単語の使い方が分かる.しかもネット上なので無料でもある.上記の「移項する」はDWDSで調べた.こんな方法で間違いの多いドイツ語を書いている.


2014/12/12   Mathematik     319TB 0   319Com 0  

二次方程式の解の公式をドイツ語で解説

Die Formel der quadratischen Gleichung: $\enspace$ Die abc-Formel $ \, \, \, ax^2+bx+c=0$ $\enspace$ ($a \ne 0$)

Lösungsformel: \[ x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] Erklärung
Bringen Sie alle Terme auf eine Seite der Gleichung, damit auf der anderen Seite nur noch null steht.
\[ \text{d. h. } \text{Die abc-Formel:} \quad \quad ax^2+bx+c=0 \]Der Faktor $a$ vor dem $x^2$ muss beseitigt werden. Hierzu müssen Sie die Gleichung durch $a$ dividieren. \[ x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}} x + \displaystyle{\frac{c}{a}} =0 \]Der Faktor beim linearen $x$-Term ( hier also $\displaystyle{\frac{b}{a}}x$ ) muss durch $2$ dividierent und anschließend das Ergebnis quadriert werden.
Der Faktor beim linearen $x$-Term ist: $\displaystyle{\frac{b}{a}}$.
Die quadratische Ergänzung ist: $(\displaystyle{\frac{b}{2a}})^2 = \displaystyle{\frac{b^2}{4a^2}}$.

Die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung addiert und setzen die Rechnung fort::
\begin{align*}
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} &= \frac{b^2}{4a^2} \\
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^2} &= \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
( x+ \frac{b}{2a} )^2 &= - \frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align*}
Die Wurzel aus beiden Seiten ziehen.
\[ x+ \frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \]
Subtrahieren Sie $\displaystyle{\frac{b}{2a}}$ von beiden Seite.
\[ \text{Es gilt:} \quad \quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \quad \square \]

コメント
ドイツ語が分からなくても,簡単な数学なので何を言っているのか想像がつくと思います.数学よりもドイツ語の学習になりますね.


2014/12/06   Mathematik     318TB 0   318Com 2  

三角関数

プリントの問題で質問の多かったことについて
15 (2)
$\sin ( \theta+ \pi) \cos(\theta+\displaystyle{\frac{\pi}{2}}) + \sin\, (\, \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-\theta\, ) \cos (- \theta)$ を簡単にする問題で
$\sin\, (\, \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-\theta\, ) = \cos \theta$ となること.
質問 この式は公式か?
回答 公式である.教科書と同じ方法でも導けるが,加法定理を使って計算するほうが簡単.
\begin{align*}
\sin\, (\, \displaystyle{\frac{\pi}{2}}-\theta\, ) &= \sin \displaystyle{\frac{\pi}{2}}\cdot \cos \theta - \cos \displaystyle{\frac{\pi}{2}} \cdot \sin \theta\\
&= 1 \times \cos \theta - 0 \times \sin \theta\\
&= \cos \theta
\end{align*}
16 平行移動についての一般的なこと
$y= k \, \sin \, a \, \theta $ $\quad \cdots ①$
$y= k \, \sin \, (\, a \, \theta - b\, ) = k \, \sin a\, (\, \theta - \displaystyle {\frac {b}{a}}\, )$ $\quad \cdots ②$
②のグラフは ① のグラフを $\theta$ 軸方向へ $+\displaystyle{\frac{ b }{a}}$ だけ平行移動したものである.$-b$ だけ平行移動したものと答える人もいるが,誤りである.コサインについても成り立つ.① の $\theta$ が ② では $\theta - \displaystyle {\frac {b}{a}}$ に変わっていることに注意.

周期については
$y=\sin a\, \theta$ と $y=\cos a\, \theta$ は $\displaystyle{\frac{2\pi}{a}}$


18 (2) 三角不等式を解く問題
$2\, \cos\, 2x + 8\, \sin x-5 \leqq 0$
解答 $\cos 2x$を2倍角の公式を用いて変形する.
\begin{align*}
2\cos\, 2x + 8\, \sin x-5 &\leqq 0 \\
2(1-2\sin^2x )+ 8 \sin x -5 &\leqq 0 \\
4\sin ^2 x-8 \sin x +3 &\geqq 0\\
( 2\sin x- 3 )(2\sin x-1) &\geqq 0 \quad \cdots①
\end{align*} ここまではできているが,次の
$2 \sin x-3 <0 $ であるから,① より $2\sin x -1 \leqq 0$
で混乱した人がいました.
$\sin x$ の取り得る値は$-1$ から $+1$ までなので $2\sin x-3 \leqq 2-3=-1<0$
①は2つの式を掛けてプラスか $0$ にならなければいけないので $2\sin x-1 \leqq 0$
マイナス $\times$ マイナスはプラス だから!
すなわち $\sin x \leqq \displaystyle{\frac{1}{2}}$ を満たす $x$ の範囲を求めればよい.

以下はプリントの解答通り


2014/12/04   高校数学     317TB 0   317Com 0  

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