雅楽多文書館

2015年01月の記事一覧

合同式の応用

昨日の問題の解答です.
問題 $29^{\, 51}$ を$900$ で割った余りを求めよ.
解答 51の二進展開を使います.
\begin{align*}
29^1 &\equiv 29 & & &(& \!\!\! \mod 900)\\
29^2 &\equiv841& & &(& \!\!\! \mod 900)\\
29^4 &\equiv (29^2)^2 &\equiv (841)^2 &\equiv 781 &(& \!\!\! \mod 900)\\
29^8 &\equiv (29^4)^2 &\equiv (781)^2 &\equiv 661 &(& \!\!\! \mod 900)\\
29^{16} &\equiv (29^8)^2 &\equiv(661)^2 &\equiv421 &(& \!\!\! \mod 900)\\
29^{32} &\equiv (29^{16})^2 &\equiv (421)^2 &\equiv 841 &(& \!\!\! \mod 900)\\
\end{align*}
\begin{align*}
29^{51}&=29^{32+16+2+1}\\
&=29^{32}\cdot29^{16}\cdot 29^2\cdot 29\\
&\equiv 841\cdot421\cdot841\cdot 29 &(& \!\!\! \mod 900)\\
&\equiv 629 &(& \!\!\! \mod 900)\\
\end{align*}\[ 求める余りは \, \, 629. \quad \quad \square \]

次の数値はTwitter のフォロワーさんに計算して頂きました.ありがとうございました.
$29^{\, 51}$ = 382 206 345 311 355 160 098 826 021 591 607 537 753 401 060 733 526 544 704 274 120 065 960 129 029
この数を$900$ で割って余りを求めたいと思いますか?

コメント
電卓を使って力まかせに計算した感じです.もっとスマートな解き方があると思います.

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2015/01/29   高校数学     333TB 0   333Com 0  

合同式の問題

とつぜん生徒さんに質問された.解答は後ほど$\cdots$

問題 $29^{51}$ を $900$ で割ったときの余りを求めよ.

2015/01/28   高校数学     332TB 0   332Com 0  

極大・極小などの定義

いよいよ2年生の授業も終盤.しばらくの間グラフを書く学習をします.少し言葉を覚えてください.下のグラフで極大,極小,最大,最小などがグラフ上で何処かを確認すること.なお,教科書に載っていない言葉で臨界点があります.英語圏やドイツ語圏の教科書では定義されています.何故か分からないのですが,日本の教科書には説明されていません.将来みなさんの何人かは,外国の数学書を読むことになると思いますので,参考までにあげておきました.極大や極小を与える $x$ の値のことです.

英語で臨界点の定義を与えてみます.
Definition. Let $f$ be a differentiable function.$\, \, $ A critical point of $f$ is a number $c$ such that
$f \, '(c)=0$.
(定義 関数 $f$ は微分可能であるとする.関数 $f$ の臨界点とは $f\, '(c)=0$ を満たす数 $c$ のことである.)

2015/01/22   高校数学     330TB 0   330Com 0  

指数関数の最大

課題 次の関数の最大値と,最大値を与える $x$ の値を求めよ.
\[ y=4(2^x+2^{-x})-(4^x+4^{-x}) \]
解答 \begin{align*}
y &=4(2^x+2^{-x})-(4^x+4^{-x})\\
\text{let} \quad 2^x+2^{-x} &=t \\
(2^x+2^{-x})^2 &= t^2\\
4^x+2+4^{-x} &=t^2\\
4^x+4^{-x} &= t^2-2\\
y &= 4t-(t^2-2)\\
&=-t^2+4t+2\\
&=-(t-2)^2+6\\
\end{align*} $t$ の取りう得る範囲を求めるために,相加平均と相乗平均の関係を用いる.
\[ t=2^x+2^{-x} \geqq 2 \sqrt {2^x\cdot 2^{-x}}=2\cdot 1 =2 \] すなわち
\[ t \geqq 2 \, \cdots ① \] ①の範囲で $y$ は $t=2$ のとき最大値 $6$ をとる.

次に,最大値 $6$ を与える $x$ の値を求める.
$t=2$ のとき 相加平均,相乗平均の関係から $2^x=2^{-x}$ すなわち $2^x= \displaystyle{\frac{1}{2^x}}$ より $(2^x)^2=1$ よって $x=0$
したがって, $y$ は $x=0$ のとき最大値 $6$ をとる.$\quad$ $\square$

コメント
質問のあった問題である.$t$ のとり得る値の範囲を求めることがキーポイント.相加平均,相乗平均の関係に気がつくことが大切.3年の数学で微積分を学習すればもう少し見通しが良くなるかも $\cdots$

2015/01/19   高校数学     331TB 0   331Com 0  

指数方程式

課題 次の方程式を解け
$9^{x+1}-28\cdot 3^x+3=0$
解答
\begin{align*}
9^{x+1}-28\cdot 3^x+3 &= 0 \\
9^x\cdot9-28\cdot3^x+3&=0\\
9\cdot(3^x)^2-28\cdot3^x+3&=0 \\
\text{let}\, \, \, 3^x&=t\\
9t^2-28t+3&=0\\
(9t-1)(t-3)&=0 \\
\text{Since}\quad t>0\\
t&=\frac{1}{9}, \quad 3\\
\text{i. e.}\quad 3^x&=\frac{1}{9}, \quad 3 \\
\text{Since} \quad 3^x=\frac{1}{9} \quad3^x= 3\\
\text{We obtain} \quad x&=-2,\quad1 \quad \square
\end{align*}
補足 $t>0$ について
下のグラフは $t=3^x$ のグラフである. $t>0$ であることはあきらか.

2015/01/14   高校数学     329TB 0   329Com 0  

ツイッターから

最近 Twitter をドイツ語で書いてみました.大晦日から元旦までのわずかな Tweet です.独文に誤りが多いと思いますが悪しからず!

12月31日
Das Fernsehen hat die Neunte Sinfonie von Beethoven gebracht. Das wird jedes Jahr am Silvesterabend gespielt. Ich weiß nicht den Grund.
0件の返信 0件のリツイート 2件のお気に入り
返信 リツイート お気に入りに登録2
(訳 テレビでベートーベンの第九が放送された.それは毎年大晦日に演奏される.理由は知らない.午後 11:21)

次はネイティブの人への返信
1月1日
Ein gutes neues Jahr.(^_^) /
(訳 新年おめでとう.午前 0:00)

12月31日
Gute Nacht.
1. Januar 0.45
0件の返信 0件のリツイート 5件のお気に入り
返信 リツイート お気に入りに登録5
(訳 おやすみなさい.1月1日 午前 0:45)

1月1日
Das Fernsehen bringt jetzt das Neujahrskonzert von Wiener Philharmoniker. Das ist Live-Sendung und sehr schön!
0件の返信 0件のリツイート 5件のお気に入り
返信 リツイート お気に入りに登録5
(訳 テレビでいまニューイヤー・ウィーンフィルコンサートをやってる.生中継だとても素敵だ.午後 9:13)

1月1日
"Explosion Polka" hat mich überrascht.
0件の返信 0件のリツイート 1件のお気に入り
返信 リツイート お気に入りに登録1
(訳 爆発ポルカに驚いた)

これに対してネイティブの人から返信あり
???


それに対する私の返信
Es gibt ein großer Klang der Explosion am Ende des Musikstück.
(訳 この曲の最後に大きな爆発音がありました,のつもり 午後 10:43)

この私の返信に対して他のネイティブの人から独文の文法的誤りの指摘あり
Es gibt einen großen Klang der Explosion am Ende des Musikstück.
(初等文法の誤りです)


ドイツ語圏の人たちがどんな事を呟いているのか知りたくなりました.自分では,おはようございます,や,おやすみなさい,ぐらいしか発信しなかったのですが.そのうちに私をフォローしてくれる人が現れました.私のドイツ語を丁寧に訂正してくださった上記の方もそうでした.でも残念ですが Twitter を退会したようです.Ich verehre die Lehrerin tief. Bitte kommen Sie zurück!

ドイツ語圏の人たちの呟きを読んでもほとんど理解できません.やはり文化的な背景がないとだめですね.事実の記述などは比較的分かりやすいのですが $\cdots$

2015/01/11   ドイツ語     328TB 0   328Com 0  

最大・最小

373(3)
予備知識 与えられた定義域で二次関数のグラフが書けること.

課題 $y=(\log_3x)^2-4\log_3x+3$ $\, \, $ ($1\leqq x \leqq 27$) の最大値、最小値を求めよ.
解答
\begin{align*}
y&=(\log_3x)^2-4\log_3x+3 &(& \, \, \text{let} \, \, \log_3x =t) \\
&=t^2-4t+3 \\
&=(t-2)^2-1 \\
\text{where} \quad x=1\quad \text{then}\quad t&= \log_31=0 &(& \text{since}\, \, 1\leqq x \leqq 27 )\\
\text{where} \quad x=27 \quad \text{then}\quad t&= \log_327=3\\
\therefore \quad 0 &\leqq t \leqq 3 \cdots ①
\end{align*}下のグラフから①の範囲で $y$ は $t=0$ で最大値 $y=3$、$t=2$ で最小値 $y=-1$ をとる.
$t=0$ のとき $\log_3x =0$ より $x=1$
$t=2$ のとき $\log_3x =2$ より $x=9$
したがって与えられた関数は $x=1$ で最大値 $3$ 、$x=9$ で最小値 $-1$ をとる。
$\square$

コメント
与えられた関数は $\log_3x$ についての二次関数になっている.したがって,$\log_3x=t$ と置き $t$ に関する二次関数の最大値,最小値をもとめる問題と考えると見通しがよくなる.これもよく出題される形式である.なお,上の式変形の途中で英語の単語が出てくるがブログの管理者のソフトが日本語に対応していないためか,もしくはソフトを使いこなせないためか,あるいはその両方であるかのためである.気にしなくてよい.参考までに下のグラフは $y=(\log_3x)^2-4\log_3x+3$ $\, \, $ ($1\leqq x \leqq 27$) のグラフそのものである.来年になったら書けるかもしれませんね.


2015/01/04   高校数学     327TB 0   327Com 0  

二次不等式つづき

前回に引き続き二次不等式の解法.解法も同じ方法で進める.

課題 二次不等式 $x^2+2x+2>0$ を解く.

解答 二次方程式 $x^2+2x+2=0$ を解くと $x= 1\pm i$ となり実数解をもたない.(異なる2つの虚数解をもつ)
二次関数 $y=x^2+2x+2$ のグラフを書く.$x$ 軸と共有点をもたない.


課題は $x^2+2x+2>0$ を解くことだから,グラフの $y$ 座標が $0$ より大きい部分,すなわち $x$ 軸より上の部分に対応する $x$ の範囲を求めればよい.しかし,グラフを見ると $y$ 座標は常に $0$ より大きいことが分かる(最小値でも $+1$).つまり,$x$ の値がいくつであっても $y$ の値は常に $0$ より大きい.したがってこの二次不等式の解は全ての実数である. $\quad$ $\square$

補足
それでは $x^2+2x+2<0$ (不等号の向きが逆) の解はどうなるか? この問題は $y$ 座標が $0$ より小さい部分に対応する $x$ の範囲を求めることを要求している.しかし,$y$ 座標は常に $0$ より大きい.したがって,問題が要求している $x$ の範囲はない.よってこの二次不等式には解がない.これが解答である.

コメント
二次方程式が虚数解をもつときは,二次関数のグラフは $x$ 軸と共有点をもたない.これをしっかり復習しておくこと.あの世の世界(虚数の世界)と,この世の世界(実数の世界) の違いのようなものだ.実際にあの世があるかどうか知らないけど (笑) $\cdots$

2015/01/02   高校数学     326TB 0   326Com 0  

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