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2015年03月の記事一覧

3項間の漸化式

3項間の漸化式について授業および問題集の補足

課題 $a_{n+2}+p\, a_{n+1}+q\, a_n=0 \cdots①$ の一般項を求める.


$x^2+px+q=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とする.
解と係数の関係により $\alpha + \beta =-p$, $\alpha \beta =q$ これらを①に代入して
$a_{n+2}-(\alpha + \beta)\, a_{n+1}+\, \alpha \beta \, a_n=0$
これを2通りに変形する.
$a_{n+2}-\alpha\, a_{n+1} = \beta (a_{n+1}-\alpha\, a_n) \cdots②$
$a_{n+2}-\beta\, a_{n+1} = \alpha (a_{n+1}-\beta\, a_n) \cdots③$
② より$\{ a_{n+1}-\alpha\, a_n\}$ は公比 $\beta$ の等比数列
③より $\{ a_{n+1}-\beta\, a_n\}$ は公比 $\alpha$ の等比数列
したがって
$a_{n+1}-\beta\, a_n = \beta^{\, n-1}\, (a_2-\alpha a_1) \cdots④$
$a_{n+1}-\alpha\, a_n = \alpha^{\, n-1}\, (a_2-\beta a_1) \cdots⑤$

求めたいのは $a_n$ の一般項だから
$\alpha \ne \beta$ のとき ④, ⑤ の辺辺を減じて
$a_n = \displaystyle{ \frac{\alpha^{\, n-1}\, (a_2-\beta a_1)- \beta^{\, n-1}\, (a_2-\alpha a_1)}{\alpha-\beta}}$

$\alpha = \beta$ のとき
$a_{n+1}- \alpha a_n= \alpha^{n-1} (a_2-\alpha a_1)$ 両辺を $\alpha_{n+1}$ で割,$\displaystyle{\frac{a_n}{\alpha_n}}=b_n$ とおくと
$\displaystyle{ \frac{a_{n+1}- \alpha a_n}{\alpha_{n+1}} = \frac{1}{\alpha^2}(a_2 - \alpha a_1)}$
$\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{\alpha_{n+1}}-\frac{a_n}{\alpha_n} = \frac{1}{\alpha^2}(a_2 - \alpha a_1)}$
$b_{n+1}-b_n= \displaystyle{\frac{1}{\alpha^2}(a_2 - \alpha a_1)}$
よって数列 ${b_n}$ は等差数列となる.以下省略. $\quad \square$


コメント
あとは練習問題をたくさん解いてください.健闘を期待します.


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2015/03/15   高校数学     345TB 0   345Com 0  

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