雅楽多文書館

2015年04月の記事一覧

多項定理について

新年度もスタートし,今年度もまた2年生の数学を担当することになりました.授業で説明できなかった部分をこのブログで補足説明します.最初は多項定理を組み合せの考え方を用いて証明することについて.まず,具体的な例から.

例題
$(a+b+c)^7$ の展開式で $a^2b^2c^4$ の項の係数を求める.
解答
$(a+b+c)^7 = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$
この展開式の中に $a^2b^2c^3$ の項があり,その係数は7つのかっこから $a$ を$2$ 個, $b$ を $2$ 個, $c$ を $3$ 個取り出す組み合せの数だから $_7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3$ である.

ここに疑問をもった生徒が何人かいたようです.
補足
$(a+b+c)^7 = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$
右辺の7つのかっこから1つづつ文字を取り出し, $a$ が2個,$b$ が 2個,$c$ が3個となるようにする.たとえば,
$abbcacc=a^2\, b^2\, c^3$ は7つのかっこの左からそれぞれ $a,\, b,\, b,\, c,\, a,\, c,\, c$ と順に取り出したとする.また
$abcbcac=a^2\, b^2\, c^3$ は $a,\, b,\, c,\, b,\, c,\, a,\, c$ と取り出したと考える.これが同類項になる.このような取り出し方が何通りあるかというと $_7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3 $ 通りある.これが求める係数である.
補足終了

したがって求める係数は
\begin{align*}
&_7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3 \\
&= \frac{7 \times 6}{2 \times1}\times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}\\
&=\frac{7!}{2! \times 2! \times 3!}\\
&=210
\end{align*} である.$\quad \square$



定理
$(a+b+c+ \cdots )^{\, n}$の展開式の一般項は $\displaystyle{\frac{n!}{p!\, q!\, r! \cdots}}\, a^{\, p} \, b^{\, q}\, c^{\, r}\dots$ である.
ただし,$p+q+r+\cdots=n ; \, \, \quad p, q, r,\cdots \geqq 0$


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2015/04/16   高校数学     347TB 0   347Com 0  

五箇山・大牧温泉

春休みを利用して三月三十日,三十一日,富山県の五箇山と大牧温泉に出かけました.
(Ich reiste im Frühlingsferien vom 30. März bis zum 31. März zur Gokayama und Omaki Onsen.)


五箇山の合掌作り(Gasyou-Stil von Gokayama)
まだ雪もあり風情がありました.
(Es lag noch viel Schnee und es war schön.)



実際に多くの人達が暮らしていることを知り感動しました.
昔話の世界にいるようです.
(Mehr Leute leben immer noch in diesem Häuser.
Das ist sehr interessant. Es wäre wie in einer Märchenwelt.)



北アルプスが奇麗でした.
(Die japanische Nordalpen war sehr schön.)




大牧温泉 (Omaki heißen Quelle)
大牧温泉には船でしか行くことができず,
それがまた魅力の一つになっていました.
(Man kann nur mit dem Schiff
nach Omaki Onsen fahren.
Das ist ein Reiz.)



船からみた旅館(ホテル)です.30分たらずの船旅でした.
(Es ist nur eine halbe Stunde Schiffsreise.)



船を降りて玄関まで坂をのぼりました.
(Eingang)



宿の窓から見た様子です.
その昔,お客さんがこの窓から釣り糸を垂らし
魚釣りを楽しんでいたそうですが,現在は禁止されているようです.
(Vor langer Zeit konnten die Gäste aus dem Fenster die Fische angeln.
Aber heute es ist verboten, die Fische zu angeln.)



大牧温泉以外になにもありません.
おかげでゆっくりできました.
(Es gibt kein Platz zum Spielen.
Man hat nichts zu tun, außerdem zur heißen Quelle zu gehen.
Hier kann man sich herrlich entspannen.)


2015/04/11   雑記     346TB 0   346Com 0  

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