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2015年06月の記事一覧

Kongruenz

Man löse die Kongruenz
$6x \equiv 7 \quad ( \! \! \! \! \mod 19)$
mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.

van der Wearden.


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2015/06/30   Mathematik     362TB 0   362Com 0  

Widerspruch


Satz. $\sqrt{2}\, $ ist irrational.

Beweis durch Widerspruch.
Wir nehmen an, dass $\sqrt{2}\, $ nicht irrational ist. Dann ist sie rational, also lässt sie sich schreiben als $\sqrt{2} = \displaystyle{\frac{a}{b}}$ (nicht reduzierbar) für gewisse ganze Zahlen $a$ und $b \ne 0$. Wir nehmen ferner an, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind. Dann quadriert die beiden Seite \[ 2=\frac{a^2}{b^2} \quad \text{bzw.}\quad 2b^2 = a^2. \] Da die linke Seite gerade ist, muss auch die rechte Seite gerade sein. Angenommen, $a$ sei ungerade, also $a = 2k+1$ mit einer ganzen Zahl $k$, dann folgt \[ a^2 =(2k+1)^2 = 2(2k^4 +2k) + 1, \] womit dann auch $a^2$ ungerade wäre. Folglich ist $a$ gerade, d. h. $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ und $a^2=(2k)^2 =4k^2.$ Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, zeigt sich \[ 2b^2 = 4k^2 \quad \text{bzw.} \quad b^2 = 2k^2 \] nach Kürzen des Faktors 2. Mit demselben Argument wie zuvor folgt nun, dass auch $b$ gerade ist. Dies widerspricht jedoch unserer Voraussetung der Teilerfremdheit von $a$ und $b.$ Also war die Annahme falsch, d. h. $\sqrt{2}$ ist irrtional und die Aussage ist beweisen. wzbw.


コメント
数学の内容としては簡単なことです.$\sqrt{2}$ が無理数であることを証明してるだけです.今回も数学というよりもドイツ語の学習でした.スペルの誤り等はご容赦ねがいます.

2015/06/18   Mathematik     360TB 0   360Com 0  

Widerspruch


Satz. $\sqrt{2}\, $ ist irrational.

Beweisen Sie bitte.

2015/06/17   Mathematik     359TB 0   359Com 0  

Siddhartha von Hermann Hesse ( Bei den Samanas )

Indem er sich nahe vor dem Samana aufstellte, mit gesammelter Seele, fing er den Blick des Alten mit seinen Blicken ein, bannte ihn, machte ihn stumm, machte ihn willenlos, unterwarf ihn seinem Willen,befahl ihm, lautlos zu tun, was er von ihm verlangte. Der alte Mann wurde stumm, sein Auge wurde starr, sein Wille gelähmt, seine Arme hingen herab, machtlos war er Siddharthas Bezauberung erlegen. Siddharthas Gedanken aber bemächtigten sich des Samana, er mußte vollführen, was sie befahlen. Und so verneigte sich der Alte mehrmals, vollzog segnende Gebärden, sprach stammelnd einen frommen Reiswunsch. Und die Jünglinge erwiderten dankend die Verneigungen, erwiderten den Wunsch, zogen grüßend von dannen.

2015/06/15   ドイツ語     357TB 0   357Com 0  

ggT(a,b)

Satz
Für $a, \, b \in \mathbb{Z}$ mit $b \ne0$ bezeichne $g=\text{ggT} (a, b)$.
$M=\{ ax+by : x, y \in \mathbb{Z}\}$
$N= \{gk : k \in \mathbb{Z}\}$
Dann gilt
$M=N$.


Lemma 1
Sei $d=ax_0+by_0$ das kleinste Element mit $ 0 < d \in$ M. Dann teilt $d$ alle Elemente von M.
Beweis.
Seien $q$ der Quotient und $r$ der Rest, wenn $ax+by$ durch $d$ dividiert.
\[ ax+by=dq+r \quad ( 0 \leqq r < d) \] \begin{align*}
r&=ax+by-qd\\
&= ax+by-(ax_0+by_0)q\\
&=a(x-x_0q)+b(y-y_0q) \in \text{M}.
\end{align*} Da $0 \leqq r < d$ ist und $d$ als kleinste positive Zahl ist, folgt $r=0$.
Also ist $d$ ein Teiler alle Elemente von M. $\quad$ w.z.b.w.

Lemma 2
Sei $d=ax_0+by_0$ das kleinste Element mit $ d \in$ M. Dann gilt $d=g$.
Beweis.
Aus $g|a$ und $g|b$ folgt $g|d$.  $\therefore\quad g \leqq d \cdots ➀$.
Auf der anderen Seite
$a=a \times1+b \times 0 \in \text{M}$,   $b=a \times 0+b \times 1 \in \text{M}$.
Nach Lemma1 gilt $d|a, \, \, \, d|b$, somit ist $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$.
$\therefore\quad g \geqq d \cdots ➁$
Aus ➀ und ➁ folgt $g=d$. $\quad $ w.z.b.w.

Beweis von Satzt
Für alle $ax+by \in \text{M}$, gilt $d|ax+by$ (Nach Lemma 1).
Nach Lemma 2 gilt $g|ax+by$, d.h. $ax+by=gk, '\, \exists k ' \in \mathbb{Z}$.
$\therefore \quad ax+by \in N$.
$\therefore \quad $ M $\subseteq N \cdots ➂$
Auf der anderen Seite
Für $\forall gk \in \text{N}$.
Da $g=d=ax_0+by_0$ ist, folgt
$gk=dk=(ax_0+by_0)k=a(kx_0)+b(ky_0) \in \text{M}$.
$\therefore \quad $ N $\subseteq M \cdots ④$.
Aus ③ und ④ folgt M = N. $\cdots$ w.z.b.w.


コメント
難しいのはドイツ語.


2015/06/10   Mathematik     356TB 0   356Com 0  

größter gemeinsamer Teiler

Satz
Für $a, \, b \in \mathbb{Z}$ mit $b \ne0$ bezeichne $g=\text{ggT} (a, b)$.
$M=\{ ax+by : x, y \in \mathbb{Z}\}$
$N= \{gk : k \in \mathbb{Z}\}$
Dann gilt
$M=N$.
Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen $a, \, b$ lässt sich also als Linearkombination $ax+by$ von $a$ und $b$ schreiben.

Beweisen Sie bitte!

2015/06/06   Mathematik     355TB 0   355Com 0  




Die Blätter zittern im Wind
Geflüster von Blättern
Es ist ein stiller Nachmittag

風にそよぐ葉
葉のささやき
静かな午後のひととき










コメント
Zen-Gedichte (禅の詩)

2015/06/01   ドイツ語     353TB 0   353Com 0  

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