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2015年07月の記事一覧

ein falscher Schluss



Aufgabe  Wo ist der Fehler? und Warum nicht?
\begin{align*}
-2&=-2 \\
1-3&=4-6\\
1-3+\frac{9}{4} &= 4-6+\frac{9}{4}\\
(1-\frac{3}{2})^{\, 2}&= (2-\frac{3}{2})^{\, 2}\\
1-\frac{3}{2}&=2-\frac{3}{2}\\
1&=2
\end{align*}
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2015/07/24   Mathematik     368TB 0   368Com 0  

eine offene Vermutung


Jede gerade zahl größer oder vier lässt sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben.


2015/07/16   Mathematik     367TB 0   367Com 0  

These


A: Es gibt eine gerade Primzahl.
B: Alle Primzahlen sind ungerade.

B = ¬ A   richtig?


2015/07/14   Mathematik     366TB 0   366Com 0  

Fundmentalsatz der Arithmetik

Satz.
Jede natürlich Zahl $n$ ist in eindeutiger Weise, mit Ausnahme von der Reichenfolge, das Produkt von Primzahlen.

Beweis.
1. Existenz der Zerlegung.
$n=4$ ist die kleinste natürliche Zahl, die das Produkt von zwei Primzahlen ist. ( Mit Ausnahme von eins.)
Ist $n \in \mathbb{N}\, \, (n>1)$ nicht Primzahl. Annahme: Für alle Zahlen, die kleiner als $n$ sind, ist Aussage richtig. Da $n$ nicht Primzahl ist, gilt es Komplementärteiler $p$, $q$ mit $n=p \, q,\, \, 1< p, q < n.$ Dann wenn $p$, $q$ Primzahlen sind, so sind wir fertig. Wenn mindestens $p$ oder $q$ nicht Primzahl ist, ist es kleiner als $n.$ Nach Annehme lassen sie als Produkt von Primzahlen schreiben. Also folgt letztlich die Existenz einer Primfaktorzerlegung von $n.$

2. Eindeutigkeit der Zerlegung.
Zusammengesetzte $4=2 \times 2$ ist dies klar. Annahme: Ist $n$ zusammengesetzte Zahl und für alle zusammengesetzte zahlen, die kleiner als $n$ sind, sind Eindeutigkeit der Zerlegung richtig.
Es sei zwei Möglichkeit und \[n=p_{\, 1}p_{\, 2}\cdots = q_{\, 1}q_{\, 2}\cdots \quad \cdots\cdots (1) \] Dann aus (1) folgt: Primzahl $q_{\, 1}$ ist versiedenen von allen $p_{\, 1},p_{\, 2}, \cdots .$
Denn wenn $p_{\, 1}=q_{\, 1}$ ist, folgt $\displaystyle{\frac{n}{p_{\, 1}}}=p_{\, 2}p_{\, 3}\cdots = q_{\, 2}q_{\, 3} \cdots .$
Nach Annahme ist Primfaktorzerlegung von $\displaystyle{\frac{n}{p_1}}$ eindeutig, so sind die beide (1) völlig identisch.
Mithin $p_{\, 1} \ne q_{\, 1}$, so sei $p_{\, 1} > q_{\, 1}$. Dann subtrahiert man $q_{\, 1}p_{\, 2}q_{\, 3}\cdots$ von beiden Seite (1),
\[(p_{\, 1}-q_{\, 1})p_{\, 2}p_{\, 3}\cdots = q_{\, 1}(q_{\, 2}q_{\, 3}\cdots - p_{\, 2}p_{\, 3} \cdots)=n'.\] $n'$ ist kleiner als $n.$ Mithin ist nach Annahme diese Primfaktorzerlegung eindeutig. Jedoch da $q_{\, 1} \ne p_{\, i}$, $(i=2,3,\cdots)$ ist, muss $q_{\, 1}$ der Teiler von $p_{\, 1}-q_{\, 1}$ sein. Mithin muss $q_{\, 1}$ Teiler von $p_{\, 1}$ sein. Dies widerspricht zu verschiedene Primzahlen $p_{\, 1}$, $q_{\, 1}.$ Also war die Annahme falsch und die Aussage ist beweisen.


2015/07/09   Mathematik     365TB 0   365Com 0  

Fundamentalsatz der Arithmetik

Satz
Jede natürlich Zahl $n$ ist in eindeutiger Weise, mit Ausnahme von der Reichenfolge, das Produkt von Primzahlen.

Beweisen Sie bitte.


2015/07/06   Mathematik     364TB 0   364Com 0  

Kongruenz

Man löse die Kongruenz
$6x \equiv 7 \quad ( \! \! \! \! \mod 19)$
mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.
MODERNE ALGEBRA1 von van der Wearden.

Lösung
$19=6 \times 3+1$
$6=6 \times1.$
Aus $19=6 \times 3+1$ folgt
$6\times (-3)+19\times 1=1.$
Man multipliziert mit sieben beide Seiten.
$6\times (-21)+19 \times 7=7$
Also $ x \equiv -21 \equiv 17 \quad ( \! \! \! \! \mod 19)$


コメント
古い数学書からです.書名は現在 „Moderne‟ がなく単に „Algebra l ‟ となっています.この本の中では比較的かんたんな問題です.

2015/07/04   Mathematik     363TB 0   363Com 0  

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