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2016年03月の記事一覧

Algebra: eine Ausgabe 5

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von zwei fremden endlichen Mengen gleich der Summe der Anzehlen für die einzahlen Mengen ist.

Beweis.
Es seien $A= \{ a_1, a_2, \dots, a_m \},$ $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n \}$ zwei fremden endliche Mengen. Wir werden zeigen, daß die Anzahl der Elemente von $A \cup B$ gleich $m+n$ ist.
Das geht mit vollständiger Induktion für $n.$
Induktionanfang $n=1.$ Dann ist $A \cup B = \{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1 \}.$ Es ist richtig.
Induktionschritt $n \rightarrow n+1.$
Die Behauptung gilte für $n.$
Sei $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n, b_{n+1} \}.$ Dann ist
\begin{align*}
A \cup B &=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n, b_{n+1} \}\\
&=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n \} \cup \{ b_{n+1} \}.
\end{align*} Die Anzahl der Elemente von $A \cup B $ ist deshalb $m+(n+1).$
Was zu beweisen war.



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2016/03/30   Mathematik     399TB 0   399Com 0  

Algebra: eine Ausgabe

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von zwei fremden endlichen Mengen gleich der Summe der Anzehlen für die einzahlen Mengen ist. [ Vollständige Induktion mit Hilfe der Rekursionsformeln ]


2016/03/28   Mathematik     400TB 0   400Com 0  

Algebra: eine Ausgabe



Aufgabe.
Man beweise druch Induktion nach $n$, daß jede Untermenge einer endlichen Menge $A=\{ a_1, \dots,a_n\}$ wieder endlich ist.


Beweis.
Induktionanfang:
$n=1$. Dann ist $A=\{a_1\}.$ Also ist Untermenge von $A$ leer oder $A$ sich selbst. Dann die Behauptung ist klar.
Induktionschritt: $n \rightarrow n+1$.
Die Behauptung gilte richtig für $n$. Sei $A=\{a_1,\dots,a_{n+1}\}$. Wenn Untermenge $B$ von $A$ gleich $A$ ist, ist die Behauptung richtig. Deshalb ist es genug, daß wir nur echte Untermenge $B$ denken. Wir teilen $B$ in zwei F"alls. Zuerst, sei $a_{n+1} \notin B.$ Dann ist $B \subset A_1= \{a_1, \dots, a_n \}.$ Nach Induktionsvoraussetzung ist $B$ endlich. Zweitens sei $a_{n+1} \in B.$ Für eine $k$ mit $1\leqq k \leqq n$ muss $a_k \notin B$ sein.
Sei
\begin{equation*}
b_i= \begin{cases}
a_i \quad \quad ( 1 \leqq i < k)\\
a_{i+1} \quad (k \leqq i \leqq n).
\end{cases}
\end{equation*}
Dann ist $B \subset A_1= \{ b_1, \dots, b_{k-1}, b_{k+1}, \dots, b_n \}.$ Wieder nach Induktionsvoraussetzung $B$ ist endlich.
Was zu beweisen war.



2016/03/25   Mathematik     398TB 0   398Com 0  

Eine zweite Form der vollständigen Induktion eine Löung


Aufgabe
Eine Eigenschaft E gelte erstens für $n = 3$ und zweitens, wenn sie für $n \geqq 3$ gilt, auch für $ n + 1$. Zu beweisen ist, dass E für alle Zahlen $\geqq 3$ gilt.


Beweis
Es sei $A$ eine Menge, die Eigenschaft E für $n \geqq 3$ nicht hat. Wir werden $A=\phi$ beweisen. Sei $A \ne \phi$. Durch zweite Form der vollständge Induktion gibt es ein kleinste Zahl $m$ in Menge $A$. Wegen $n \geqq 3$, dann gibt es ein Zahl $n$ mit $m=n+1$. Wegen $ n \notin A$, gilt E für $n$. Aus Annahme gilt E für $n+1=m$. Das ist die Absurdität. Also $A=\phi$. $\quad w.z.b.w.$

2016/03/23   Mathematik     397TB 0   397Com 0  

LATEXのソースコード

align* の用法
\begin{align*}
ax^2+bx+c &= a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\
&=a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c\\
&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-\frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}


上の数式は次のように入力した.

$\verb+\begin{align*}+$
$\verb?ax^2+bx+c &= a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\?$
$\verb?&=a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2?$
$\verb?-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c\\?$
$\verb?&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2?$
$\verb?-\frac{b^2-4ac}{4a}?$
$\verb+\end{align*}+$



2016/03/23   Programming     396TB 0   396Com 0  

„Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik“ von Wittgenstein

1. Wir verwenden den Ausdrück: »die Übergänge sind druch die Formel$\dots$bestimmt.« Wie wird er verwendet? $-$ Wir können etwa davon reden, daß Menschen durch Erziehung (Abrichtung) dahingebracht werden, die Formel $y=x^2$ so zu verwenden, daß Alle, wenn sie die gleiche Zahl für x einsetzen, immer die gleiche Zahl für y herausrechnen. Oder wir können sagen: »Diese Menchen sind so abgerichtet, daß sie alle auf den Befehl › + 3 ‹ auf der gleichen Stufe den gleichen Übergang machen.« Wir könnten dies so ausdrücken: »Der Befehl › +3 ‹ bestimmt für diese Menschen jeden Übergang von einer Zahl zur nächsten völlig.« (Im Gegensatz zu anderen Menschen, die auf diesen Befehl nicht wissen, was sie zu tun haben, oder die zwar mit Sicherheit, aber ein jeder in anderer Weise, auf ihn reagieren.)
Wir können anderseits verschiedene Arten von Formeln und zu ihnen gehörige verschiedene Arten der Verwendung (verschiedene Arten der Abrichtung) einander entgegensetzen. Wir nennen dann Formeln einer bestimmten Art (und der dazugehörigen Verwendungsweise) »Formeln, welche eine Zahl $y$ für ein gegebenes $x$ bestimmen«, und Formeln anderer Art, solche, »die die Zahl $y$ für ein gegebenes $x$ nicht bestimmen«. ($y=x^2+I$ wäre von der ersten Art, $y>x^2+I$, $y=x^2 \pm I$, $y=x^2+Z$ von der zweiten.) Der Satz: »die Formel$\dots$bestimmt eine Zahl $y$ « ist dann eine Aussage über die Form der Formeln $-$ und es ist nun ein Satz »Die Formel, die ich hingeschrieben habe, bestimmt $y$«, oder »Hier steht eine Formel, die $y$ bestimmt«, zu unterscheiden von einem Satz wie: »Die Formel $y=x^2$ bestimmt die Zahl $y$ für eingegebenes $x$«. Die Frage »Steht dort eine Formel, die $y$ bestimmt?« heißt dann dasselbe wie: »Steht dort eine Formel dieser Art, oder jener Art?«; was wir aber mit der Frage anfangen sollen: »Ist $y=x^2$ eine Formel, die $y$ für ein gegebenes $x$ bestimmt?« $-$ ist nicht ohne weiteres klar. Diese Frage könnte man etwa an einen Schüler stellen, um zu prüfen, ob er die Verwendung des Ausdrucks »bestimmen« versteht; oder es könnte eine mathematische Aufgabe sein, zu berechnen, ob auf der rechten Seite der Formel nur eine Variable steht, wie z. B. im Fall: $y=(x+z)^2-z(2x^2+z)$.



2016/03/20   Mathematik     395TB 0   395Com 0  

Binomischer Lehrsazt

Beweis von Binomoscher Lehrsatz durch vollständige Induktion nach $n$. Weil die Formel lange ist, greifen Sie bitte meine Homepage zu. (二項定理を数学的帰納法を用いて証明しました.数式が長いのでホームページにアクセスしてください.)

Ausführlicher Beweis: Klicken Sie hier bitte!
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2016/03/11   Mathematik     394TB 0   394Com 0  

eine Lösung

Lösung der Aufgabe
Aufgabe
Eine Eigenschaft E gelte erstens für $n = 3$ und zweitens, wenn sie für $n geqq 3$ gilt, auch für $ n + 1$. Zu beweisen ist, daß E für alle Zahlen $geqq 3$ gilt.

Wenn die Formel sich nicht zeigt, klicken Sie hier bitte.
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2016/03/07   Mathematik     393TB 0   393Com 0  

eine zweite Form der vollständigen Induktion

Man will eine Eigenschaft E für alle Zahlen als gültig nachweisen, und beweist sie zu dem Zweck für eine jede beliebige Zahl $n$ unter der „Induktionsvoraussetzung“, daß sie für alle Zahlen $< n$ bereits gilt. (Insbesondere gilt die Eigenschaft dann für $n = 1$, da es keine Zahlen $ < 1$ gibt, also die „Induktionsvoraussetzung“ hier wegfällt. Der Induktionsbeweis muß natürlich so beschaffen sein, daß er den Fall $n = 1$ mit umfaßt, sonst ist er ungenügend.) Dann muß die Eigenschaft E allen Zahlen zukommen. Sonst wäre nämlich die Menge aller Zahlen, denen die Eigenschaft E nicht zukommt, nicht leer. Ihr kleinstes Element wäre eine Zahl $n$, welche die Eigenschaft E nicht besitzt, während alle Zahlen $ < n$ die Eigenschaft E besitzen, was nicht geht.

Aufgabe
Eine Eigenschaft E gelte erstens für $n = 3$ und zweitens, wenn sie für $n geqq 3$ gilt, auch für $ n + 1$. Zu beweisen ist, daß E für alle Zahlen $geqq 3$ gilt.

Wenn die Formel sich nicht zeigt, klicken Sie hier bitte.
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2016/03/03   Mathematik     392TB 0   392Com 0  

Prinzip der vollständigen Induktion


Prinzip der vollständigen Induktion
Jede Menge von natürlichen Zahlen, welche die Zahl 1 enthält und welche zu jederZahl $a$, die sie enthält, auch deren Nachfolger $a+1$ enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.

Satz
Jede nichtleere Menge von natürlichen Zahlen enthält eine kleinste Zahl, d. h. eine solche, die kleiner ist als alle anderen Zahlen der Menge.


2016/03/02   Mathematik     389TB 0   389Com 0  

Größter und kleiner

Für je zwei Zahlen $a$, $b$ gilt eine und nur eine der Relationen.
(12)  $a < b$, $a = b$, $a > b$.
(13)  Aus $a < b$ und $b < c$ folgt $a < c$.
(14)  Aus $a < b$ folgt $a + c < b + c$.
(15)  Aus $a < b$ folgt $ac < bc$.

2016/03/02   Mathematik     387TB 0   387Com 0  

Produkt zweier Zahlen


(6) $ \quad \quad$ $x\cdot1 = x,$
(7) $ \quad \quad$ $x \cdot y^+ = x \cdot y + x$ $ \quad $für jedes $x$ und jedes $y.$
  Es gelten die Rechnungsregeln:
(8) $ \quad \quad$ $ab \cdot c = a \cdot bc$ $ \quad \quad$ („Assoziatives Gesatz der Multiplikation“).
(9) $ \quad \quad $ $a \cdot b = b \cdot a$ $ \quad \quad \quad $ („Kommutatives Gesatz der Multiplikation“).
(10) $ \quad \, \, \, $ $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ $ \quad \quad \quad $ („Distributivgesetz“)
(11) $ \quad \, \, $ Aus $\quad$ $a \cdot b = a \cdot c$ $\quad$ folgt $\quad$ $b = c$.



2016/03/01   Mathematik     386TB 0   386Com 0  

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