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2016年04月の記事一覧

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\begin{equation*}
\begin{aligned}
(1) &\frac{2i}{1-i} \\ &= \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} \\
&= \frac{-2+2i}{2}\\ &=-1+2i
\end{aligned}
\hspace{2cm}
\begin{aligned}
(2) &\frac{1-\sqrt{3}i} {1+ \sqrt{3}i} \\
&= \frac{(1-\sqrt{3}i)^2} {(1+ \sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}\\
&= \frac{1-2\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2}{1-(\sqrt{3}i)^2}\\
\end{aligned}
\quad \quad
\begin{aligned}
&=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{1+3} \\ &= \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} \\
&= \frac{-1-\sqrt{3}i} {2}
\end{aligned}
\hspace{7cm}
\end{equation*}


Souce code
$\verb+\begin{equation*}+$
$\verb?\begin{aligned}\\?$
$\verb?(1) &\frac{2i}{1-i} \\ &= \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} \\ ?$
$\verb?&= \frac{-2+2i}{2}\\ &=-1+2i \\?$
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$\verb?\hspace{2cm}\\?$
$\verb?\begin{aligned}\\?$
$\verb?(2) &\frac{1-\sqrt{3}i} {1+ \sqrt{3}i} \\ ?$
$\verb?&= \frac{(1-\sqrt{3}i)^2} {(1+ \sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}\\ ?$
$\verb?&= \frac{1-2\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2}{1-(\sqrt{3}i)^2}\\ ?$
$\verb?\end{aligned} \\?$
$\verb?\quad \quad \\?$
$\verb?\begin{aligned}\\?$
$\verb?&=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{1+3} \\ &= \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} \\ ?$
$\verb?&= \frac{-1-\sqrt{3}i} {2} \\?$
$\verb?\end{aligned} \\?$
$\verb?\hspace{7cm} \\?$
$\verb+\end{equation*}+$


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2016/04/05   Programming     402TB 0   402Com 0  

Algebra: eine Ausgabe 6

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von $r$ paarweise fremden Mengen von je $s$ Elementen gleiche $rs$ ist.

Beweis.
Wir beweisen die Behauptung durch vollständiger Induktion für $r$.
Induktionanfang: $r=1,$
dann $s=s \cdot 1.$ Die Behauptung ist richtig.
Induktionschritt: $r \rightarrow r+1$.
Unter der Induktionsvoraussetzung, daß die Behauptung für $r$ schon beweisen ist.
Es seien die Mengen von $r+1$, die je $s$ Elementen haben, $A_1 \dots A_{\, \, r+1}.$ Und sei diese Vereinigungsmenge
$B=A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{\, r}.$ Dann nach vollständiger Induktionsvoraussetzung, die Anzahl der Elemente der B ist gleich $rs.$ Wenn $B$ und $A_{\, r+1}$ vereingt, dann ist die Anzahl der Elemente der $B \cup A_{\, \, r+1}$ gleich $rs+s=(\, r+1)\cdot s.$

Was zu beweisen war.



2016/04/03   Mathematik     401TB 0   401Com 0  

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