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2016年05月の記事一覧

二項定理の応用


問題 $(1-3x)^7$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ.

この問題の解答として次の例があった
$\displaystyle{\frac{7!}{5!\cdot 2!}}=21$ としたもの.残念だが誤りである.教科書の記述は
$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^pb^{\, q}c^r$ の項の係数は$\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r!}}$ である.この記述が問題である.

一般項まで含んだ形の公式をあげておくべきである.すなわち
$(a+b+c+\cdots)^n$ の展開式の一般項は
$\displaystyle{\frac{n!}{p!q!r! \cdots}} a^pb^qc^r \cdots$ ただし $(p+q+r+\cdots=n ; \quad p, q, r, \cdots \geqq 0)$ を用いて

解答 $x^2$ を含む一般項は
$\displaystyle{\frac{7!}{5!\cdot 2!}}\cdot 1^5 (-3x)^2=21\cdot 9x^2=189x^2$
したがって求める係数は $189$ である.$\quad \square$

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2016/05/04   高校数学     403TB 0   403Com 0  

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