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雅楽多文書館

Entry 360   Permanent LIN K

Widerspruch


Satz. $\sqrt{2}\, $ ist irrational.

Beweis durch Widerspruch.
Wir nehmen an, dass $\sqrt{2}\, $ nicht irrational ist. Dann ist sie rational, also lässt sie sich schreiben als $\sqrt{2} = \displaystyle{\frac{a}{b}}$ (nicht reduzierbar) für gewisse ganze Zahlen $a$ und $b \ne 0$. Wir nehmen ferner an, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind. Dann quadriert die beiden Seite \[ 2=\frac{a^2}{b^2} \quad \text{bzw.}\quad 2b^2 = a^2. \] Da die linke Seite gerade ist, muss auch die rechte Seite gerade sein. Angenommen, $a$ sei ungerade, also $a = 2k+1$ mit einer ganzen Zahl $k$, dann folgt \[ a^2 =(2k+1)^2 = 2(2k^4 +2k) + 1, \] womit dann auch $a^2$ ungerade wäre. Folglich ist $a$ gerade, d. h. $a = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ und $a^2=(2k)^2 =4k^2.$ Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, zeigt sich \[ 2b^2 = 4k^2 \quad \text{bzw.} \quad b^2 = 2k^2 \] nach Kürzen des Faktors 2. Mit demselben Argument wie zuvor folgt nun, dass auch $b$ gerade ist. Dies widerspricht jedoch unserer Voraussetung der Teilerfremdheit von $a$ und $b.$ Also war die Annahme falsch, d. h. $\sqrt{2}$ ist irrtional und die Aussage ist beweisen. wzbw.


コメント
数学の内容としては簡単なことです.$\sqrt{2}$ が無理数であることを証明してるだけです.今回も数学というよりもドイツ語の学習でした.スペルの誤り等はご容赦ねがいます.

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2015/06/18   Mathematik     360TB 0   360Com 0  

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