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Entry 399   Permanent LIN K

Algebra: eine Ausgabe 5

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von zwei fremden endlichen Mengen gleich der Summe der Anzehlen für die einzahlen Mengen ist.

Beweis.
Es seien $A= \{ a_1, a_2, \dots, a_m \},$ $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n \}$ zwei fremden endliche Mengen. Wir werden zeigen, daß die Anzahl der Elemente von $A \cup B$ gleich $m+n$ ist.
Das geht mit vollständiger Induktion für $n.$
Induktionanfang $n=1.$ Dann ist $A \cup B = \{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1 \}.$ Es ist richtig.
Induktionschritt $n \rightarrow n+1.$
Die Behauptung gilte für $n.$
Sei $B= \{ b_1, b_2, \dots, b_n, b_{n+1} \}.$ Dann ist
\begin{align*}
A \cup B &=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n, b_{n+1} \}\\
&=\{ a_1, a_2, \dots, a_m, b_1,\dots, b_n \} \cup \{ b_{n+1} \}.
\end{align*} Die Anzahl der Elemente von $A \cup B $ ist deshalb $m+(n+1).$
Was zu beweisen war.



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2016/03/30   Mathematik     399TB 0   399Com 0  

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