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Algebra: eine Ausgabe 6

Aufgabe.
Man beweise, daß die Anzahl der Elemente einer Vereinigung von $r$ paarweise fremden Mengen von je $s$ Elementen gleiche $rs$ ist.

Beweis.
Wir beweisen die Behauptung durch vollständiger Induktion für $r$.
Induktionanfang: $r=1,$
dann $s=s \cdot 1.$ Die Behauptung ist richtig.
Induktionschritt: $r \rightarrow r+1$.
Unter der Induktionsvoraussetzung, daß die Behauptung für $r$ schon beweisen ist.
Es seien die Mengen von $r+1$, die je $s$ Elementen haben, $A_1 \dots A_{\, \, r+1}.$ Und sei diese Vereinigungsmenge
$B=A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{\, r}.$ Dann nach vollständiger Induktionsvoraussetzung, die Anzahl der Elemente der B ist gleich $rs.$ Wenn $B$ und $A_{\, r+1}$ vereingt, dann ist die Anzahl der Elemente der $B \cup A_{\, \, r+1}$ gleich $rs+s=(\, r+1)\cdot s.$

Was zu beweisen war.



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2016/04/03   Mathematik     401TB 0   401Com 0  

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